Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рихтмайер Р. -> "Принципы современной математической физики" -> 29

Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.

Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики — М.: Мир, 1984. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): principisovremennoymatematfiziki1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 162 >> Следующая

слева направо, соответствуя т =-1, 0, 1. Отметим, что эта матрица
унитарна.
4. Отождествляя левую часть (20.12.1) с Yf (0', ср'), умножим это
равенство на г, перейдем к декартовым координатам, полагая z' = rcos0',
x'±iy'= =rsln0'e±l(,> (и аналогично для х, у, г), и возьмем /= 1.
Используя результат упражнения 3, покажите, что в случае, когда g-
вращение на угол Р
20.13. Теорема сложения для тессеральных гармоник
73
вокруг оси х (т. е. а = у = 0), преобразование, описываемое в (20.12.1),
имеет вид
х'=х, у' =у cos P + zsin Р, г'= -i/sin P + zcos Р,
5. Покажите, что Р1т,т= Р1тт,.
6. Покажите, что в (20.12.6) можно избежать появления угла а-л/2 вместо
а, если вторым шагом в определении углов Эйлера принять вращение на угол
(5 вокруг оси у, а не вокруг оси х.
20.13. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ТЕССЕРАЛЬНЫХ ГАРМОНИК
В формуле (20.12.1), которая показывает, как для заданного I функции Yf
при вращении g преобразуются в комбинации этих же функций, положим т=0 и
допустим, что g-вращение с углами Эйлера а, (5, 0, так что
(р(а, р, О)У")(0, Ф)= 2 р",,0 (а, Р, 0) (0, <Р). (20.13.1)
m'=-I
Оператор р(а, р, 0) переносит значения функции при движении по сфере
согласно вращению g, которое переводит полярную ось в направление,
заданное углами р, а - л/2. Следовательно, левая часть в (20.13.1) равна
функции
т.. о).
где 012-угол между направлениями (Р, а-л/2) и (0, ф) [напомним, что У°(в,
ф) не зависит от ф]. Переобозначим эти направления: пусть первое будет
(0*. ф*), а второе-(02, ф2), и используем тригонометрическое тождество
cos 012 = cos 0Х cos 02 + sin 0i sin 02 cos (ф! - ф2). (20.13.2) Наконец,
подставляя (20.12.6) в (20.13.1), получаем
УЧФи. 0) = )/4л/(2/+1) 2 Yfie^^YfiQ,, ф2), (20.13.3)
т=-1
что и представляет собой искомую теорему сложения. Ее можно записать
также в виде
Pt (cos 012) = Pt (cos 0Х) Pt (cos 02) +
I
+ 22 [(/-m)\/(l + m)\]Pf (cosOJ Pf(cosQ2) cosm^-ф2).
m - 1
(20.13.4)
Мимоходом отметим, что в частном случае / = 1 мы снова получаем
тригонометрическую формулу (20.13.2), ибо P1(w) = w, Р\ (w) - V1 -w2.
74
Гл. 20. Представления групп /
20.14. ПОЛНОТА СИСТЕМЫ ТЕССЕРАЛЬНЫХ ГАРМОНИК
В этом параграфе будет показано, что тессеральные гармоники образуют
полную систему для разложения функций, определенных на сфере. Так как
(20.11.3) является дифференциальным уравнением типа Штурма - Лиувилля в
интервале (-1, 1) (с особыми концевыми точками типа предельной точки на
каждом конце), требуемую полноту можно установить при помощи методов §
10.6 тома 1 настоящей книги. Здесь предлагается другой подход, основанный
на теории потенциала.
Формула Родрига (20.11.6) показывает, что функция Pf(w) содержит только
четные степени w, когда 1-\-т четно, или только нечетные степени w, когда
1-\-т нечетно, и, кроме того, имеется множитель Y1 - для нечетного т. Из
(20.10.7), переходя к декартовым координатам
г cos Э = г, г sin 0et4> = x-f- iy, r2 = x2 y2-\-z2,
можно установить, что rlYf (0, <р) является однородным многочленом
степени I по х, у, г, т. е. что каждый член имеет вид const • x'yJ'zk,
где i -f- / -f- k = I.
Теперь покажем, что эти многочлены удовлетворяют уравнению Лапласа.
Записанный в сферических координатах лапласиан можно выразить через
операторы L,-, используя (20.9.5) и (20.9.6):
Функция Yf есть собственная функция оператора L+L~ и оператора L",
соответствующая собственному значению -(aj")! в СЛУ_ чае первого
оператора и собственному значению -im в случае второго оператора.
Следовательно, с учетом (20.9.12) мы имеем
VVFf (0, Ф) = [/ (/ + 1)-(/ + т + 1) (1-т)-т2-
т\х
X rl Yf (0, ф) = 0.
Общий однородный многочлен р(х, у, г) степени I включает 1l2(l+1)(/ + 2)
членов вида x'yhk. В самом деле, если i' = 0, то существует /+ 1
возможных значений /, если i - 1, то существует I возможных значений /, и
т. д.; во всех случаях k = l-t-/ и поэтому число членов равно 1 .
.. -f-(/-f- l)=i/2(/-|_ l)(/_|_2).
Теперь допустим, что р(х, у, г) удовлетворяет уравнению Лапласа. Так как
V2р является однородным многочленом степени I - 2, то для обращения его в
нуль нужно наложить 1/2 (I-1)/ условий на коэффициенты многочлена р,
причем нетрудно видеть, что эти условия независимы. Следовательно,
гармонические много-
1 <?2
/*2 sin2 0 Эф2
(20.14.1)
20.14. Полнота системы тессеральных гармоник
75
члены степени / образуют пространство
(/+1)(/ + 2)/2-(/-1)//2 = 2/+1
измерений. Это пространство является в точности линейной оболочкой
многочленов
r'Yf (т = /, /-1, ..., -/),
ибо число их равно 21 -f 1 и очевидно, что они независимы в силу
ортогональности функций Yf. Отсюда следует заключение, что любой
гармонический многочлен можно выразить через функции rlYf (0, ф).
Если / (0, ф)-произвольная непрерывная функция на единичной сфере, то,
согласно разрешимости задачи Дирихле в теории потенциала, существует
функция ф(х, у, г), которая удовлетворяет уравнению v2^ = 0 при х2 + у2 +
г2 < 1, является непрерывной при х2 + у2-f г2< 1 и принимает значения
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 162 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed