Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
аксиомой: G содержит единственный единичный элемент е
8
Г л. 18. Элементарная теория групп
и для каждого элемента а из G существует единственный обратный элемент
а~г (см. следующий параграф).
В качестве первого примера группы G рассмотрим множество всех вращений в
плоскости: пусть Rv обозначает преобразование, при котором точки х, у
перемещаются в (можно сказать, отображаются на) точки х1, у', где
х' = х cos ф-у sin ф,
. . (18.1.1)
у = X Sin Ф + у COS ф. '
Если осуществляются последовательно преобразования RVi
и Кф1, то результатом будет вращение на угол ф1 + ф2, т. е.
преобразование /?ф,+ф2. Легко проверить, что множество
{#Ф: 0^ф<2л) всех таких вращений удовлетворяет аксиомам группы.
Чтобы описать любое вращение в трехмерном пространстве, можно сначала
выбрать некоторое направление, проходящее через начало координат, а затем
осуществить вращение на некоторый угол вокруг этого направления как
неподвижной оси. Из теоремы Эйлера, которая будет доказана в § 19.2,
следует, что результатом двух таких преобразований, выполненных
последовательно, будет снова такое же преобразование, т. е. вращение
вокруг некоторой оси на некоторый угол. [Это кажется очевидным (поскольку
каждый знает, что это верно), пока не делаются попытки доказать это
утверждение.] Вследствие этого множество всех вращений в трехмерном
пространстве образует группу. Группа всех вращений в "-мерном
пространстве обозначается через SO(ti) по причинам, которые будут
объяснены ниже.
В качестве третьего примера возьмем множество всех вращений в трехмерном
пространстве, при которых некоторый куб с центром в начале координат
остается инвариантным (т. е. отображается на куб, совпадающий с
первоначальным). Такими вращениями будут: повороты на 90, 180 и 270°
вокруг оси, проходящей через центры противоположных граней, поворот на
180° вокруг оси, проходящей через середины противоположных ребер,
повороты на 120 или 240° вокруг оси, проходящей через противоположные
вершины. Легко проверить, что эти преобразования (включая тождественное)
образуют группу из 24 элементов. В общем случае множество всех
преобразований определенного вида (например, вращений, общих линейных
преобразований, движений, конформных отображений), при которых данная
фигура остается инвариантной, представляет собой группу, ибо я.сно, что
фигура инвариантна относительно произведения таких отображений и
относительно обратных к ним. Движения, при которых инвариантна
кристаллическая решетка, образуют пространственную группу кристалла-, см.
§ 18.13.
18.1. Аксиомы группы. Примеры
9
Множество всех перестановок п объектов образует группу; такие группы
рассматриваются в § 18.4.
Некоторые множества вещественных или комплексных чисел или кватернионов
являются группами относительно сложения или умножения, например множество
всех целых чисел (положительных, отрицательных и нуля) относительно
сложения, множество всех положительных вещественных чисел относительно
умножения, целые числа 0, 1, . . т-1 относительно сложения по модулю т,
наконец, множество всех ненулевых (вещественных) кватернионов
относительно умножения.
Когда групповой операцией является сложение, а о Ь обозначают через а+b,
элемент, обратный элементу а,- через -а, а единицу - через 0. Часто
кружок опускается и композиция двух элементов а и b записывается просто
как произведение ab.
Конечную группу можно полностью описать при помощи ее таблицы умножения.
Например, группа Клейна из четырех элементов, Vit определяется таблицей
е а Ь с
е а ъ с
а е с b
Ь с е а
с Ь а е
в которой имеется в виду, что а о Ь=с и т. д. Каждый элемент группы
появляется один раз в любой строке и один раз в любом столбце; более
того, все строки (и все столбцы) различны. Любое квадратное размещение
букв, обладающее таким свойством, называется латинским квадратом (Эйлер).
Любой латинский квадрат определяет абстрактную группу при условии, что
определенная таким образом мультипликативная структура имеет единицу и
удовлетворяет закону ассоциативности.
Теория абстрактных групп имеет дело с отношениями, показанными в таблице
умножения, и совершенно игнорирует внутреннюю природу элементов а, b и т.
д. В отличие от математического анализа, теории функций вещественной и
комплексной переменных, дифференциальных уравнений и других аналитических
дисциплин (теория групп относится к алгебре) здесь почти никогда не
встречаются численные значения", исключая использование целых чисел для
нумерации и счета. Теория групп играет определенную роль в квантовой
механике, в теории спектров, в анализе классических динамических систем,
в теории автоморфных функций, в теории алгебраических уравнений и т. д.
10
Гл. 18. Элементарная теория групп
18.2. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ.
ДАЛЬНЕЙШИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Следующие законы являются следствиями из аксиом 1-3 предыдущего
параграфа.
Закон сокращения: Если а, Ь, с-любые элементы группы G, то из aob = aoc
следует Ь = с и из Ь о а -с о а следует b=с.
