Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рихтмайер Р. -> "Принципы современной математической физики" -> 148

Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.

Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики — М.: Мир, 1984. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): principisovremennoymatematfiziki1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 142 143 144 145 146 147 < 148 > 149 150 151 152 153 154 .. 162 >> Следующая

топологическим, можно определить, что означают типичные и нетипичные
свойства систем. Это часто делается с таким расчетом, чтобы нетипичными
свойствами можно было пренебречь в некоторых отношениях.
Подмножество пространства называется бэровским множеством, если оно
является пересечением счетного числа плотных открытых подмножеств.
Дополнение бэровского множества называется тощим множеством; оно
представляет собой объединение счетного числа нигде не плотных
подмножеств.
Свойство системы называется типичным, если оно выполняется на бэров-ском
множестве пространства систем. Свойство называется нетипичным, если оно
выполняется на тощем множестве. Заметим, что "нетипичность" не означает
простое отрицание "типичности", так как множество может оказаться ни
бэровским, ни тощим, например полупространство х\ > 0 в Rn.
Теорема Бэра о категориях утверждает, что бэровское множество плотно в
полном метрическом пространстве, но и тощее множество также может быть
плотным; следовательно, различие не основывается на плотности. Более
того, в случае конечномерного пространства бэровское множество может
иметь лебегову меру нуль; следовательно, различие не основывается также и
на мере (см. ниже разд. 31.Ж).
Если свойство а типично, то отрицание а-нетипичное свойство; если
свойства а и Ь типичны, то типично и свойство "а и Ь". Два
противоположных свойства не могут одновременно быть типичными.
354
Гл. 31. Ранняя стадия турбулентности
31.Г. СИЛЬНАЯ ТИПИЧНОСТЬ. ФИЗИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
Мы не будем приводить физической интерпретации типичности, за исключением
следующего специального случая. Свойство называется сильно типичным, если
оно имеет место на плотном открытом множестве пространства систем, т. е.
не только на счетном пересечении таких множеств. (Заметим, между прочим,
что пересечение конечного числа плотных открытых множеств снова будет
плотным открытым множеством.) Если свойство сильно типично, если X-любая
система и если ej-любое положительное число, то при помощи возмущения
системы X, по норме не превосходящего еь можно получить систему У (IК-
Xjsgei), которая обладает этим свойством. Более того, тогда найдется
такое другое положительное число е2 (< е^, что система сохранит это
свойство при любом произвольном дополнительном возмущении, не
превосходящем по норме е2. Ничего нельзя сказать о том, насколько трудным
может оказаться поиск первого возмущения. (Могут также существовать
возмущения системы X, по норме не превосходящие е1( которые не приводят к
системе с нужным свойством.) Однако все достаточно тщательно подобранные
системы обладают этим свойством; следовательно, такое свойство не может
быть отнесено к числу тех, которые не могут проявиться на практике.
Если свойство сильно нетипично, т. е. если оно имеет место на нигде не
плотном множестве пространства систем, то для любого ^ 0 найдется
возмущение, по норме не превосходящее еь при наложении которого это
свойство исчезает. Более того, тогда найдется такое е2^0, что никакое
дополнительное возмущение, по норме не превосходящее е2, не может
восстановить это свойство.
31.Д. ТЕОРЕМА ПЕЙКСОТО
Теорема Пейксото [1962J гласит, что для динамических систем на компактном
двумерном многообразии сильно типичное свойство заключается в том, что
каждое движение асимптотически стремится к одной из конечного числа
неподвижных точек и периодических траекторий. Следовательно, в частности,
квазипериодические движения нетипичны.
Сформулируем эту теорему для двумерного тора, т. е. для случая, когда М -
Тг. Пусть 0 и ф-угловые переменные на Т2, так что динамическая система
примет вид
ё = Р(в, ф), ф = G (0, ф),
где функции F и G периодичны по 0 и ф с периодом 2п. Пусть В-банахово
пространство всех пар периодических функций f и О класса С1 с нормой
так что топология в В соответствует равномерной сходимости в С1. Каждая
точка пространства В представляет динамическую систему. Тогда в В
найдется плотное'открытое множество, представляющее динамические системы,
для каждой из которых выполняются следующие условия.
1) Существует лишь конечное число неподвижных точек и замкнутых
траекторий на Тг.
2) Каждое движение асимптотически стремится к одной из этих неподвижных
точек или замкнутых траекторий. (Здесь преднамеренно исключены
стационарные движения в неподвижных точках и периодические движения по
замкнутым траекториям.)
В действительности теорема утверждает несколько больше того, что здесь
сказано: см. Пейксото [1962] и разд. 31.Е ниже.
Это утверждение является резким контрастом по отношению к теореме
Колмогорова-Арнольда-Мозера (см. книгу Мозера [1973, теорема 2.8]), со-
Прилож. к гл. S1. Типичные свойства систем
355
гласно которой для гамильтоновых систем при определенных предположениях
квазипериодические движения устойчивы относительно почти всех малых
возмущений. Здесь нет противоречия, так как гамильтоновы системы как
целое являются весьма частным случаем (например, стационарные
Предыдущая << 1 .. 142 143 144 145 146 147 < 148 > 149 150 151 152 153 154 .. 162 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed