Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
маловероятной.
Если периодическая траектория на двумерном торе обойдет его до замыкания
п раз, то бифуркация называется субгармонической и характеризуется
внезапным /i-кратным увеличением периода в момент бифуркации (см.
§29.11). Недавно Фейгенбаум разработал модель, основанную на
последовательности субгармонических бифуркаций с удвоением периода (см.
работу Фейгенбаума [1980] и цитируемые в ней источники). Оказывается, что
такие удвоения встречаются во многих примерах итерированных отображений и
352
Гл. 31. Ранняя стадия турбулентности
простых динамических систем. Более того, с ростом числа п удвоений
поведение системы начинает подчиняться определенным асимптотическим
законам, в формулировку которых входят универсальные постоянные и
функции, не зависящие от изучаемой системы. К тому же эти асимптотические
законы начинают выполняться совершенно точно при сравнительно небольших
значениях п. В частности, значения безразмерного параметра р, при которых
происходят бифуркации (удвоения), сходятся к значению как геометрическая
прогрессия, причем для больших п
(И"+1- |*В)/(И" - H"-i) ~ 0.21416938.
При п-^-оо, по крайней мере в изученных случаях, энергетический спектр
движения аппроксимирует непрерывный спектр с определенными универсальными
свойствами. При р=р" движение, по-ви-димому, становится апериодическим и
происходит на странном аттракторе.
Теперь уже известно (см. работу Лоренца [1981]), что примером такого
поведения служит система Лоренца при значительно больших значениях
безразмерного параметра г, чем те значения, которые вначале рассматривал
Лоренц. А именно, странный аттрактор, который возникает при г=24.74,
сохраняется вплоть до значения г=г* ("250). При г, значительно
превосходящих г*, существует периодическая траектория, и при уменьшении г
в сторону г* существует последовательность удвоений при значениях г=гп.
Последовательность {/¦"} сходится сверху к значению г*, причем
('-п+1-гп)/(гп - гп_1) " 0.214.
Приложение к главе 31 (разделы А - 3).
ТИПИЧНЫЕ СВОЙСТВА СИСТЕМ
В настоящем приложении объясняются и используются понятия типичных и
нетипичных свойств систем. Можно подумать, что в ряде разделов физики эти
понятия в некотором смысле заменят вероятность. Мы придем к выводу, что
это не так, но что они могут оказаться важным путеводителем в дальнейшем
развитии наших представлений о роли вероятности в физике.
31.А. ПРОСТРАНСТВА СИСТЕМ
По той причине, что физическая система не может быть задана точно, и по
ряду других причин часто желательно рассматривать не конкретную систему,
а большое семейство систем. Если каждая система характеризуется
значениями п параметров аь ..., а", то тем самым ей ставится в
соответствие некоторая точка пространства IR". И обратно, каждая точка в
IR" или в некоторой области a R" может соответствовать единственной
системе семейства.
В более общем случае системы семейства могут быть представлены точками в
банаховом или гильбертовом пространстве, или в некотором более общем
метрическом пространстве, или же в некотором еще более общем
топологическом пространстве, которое мы будем называть пространством
систем.
Прилож. к гл. 31. Типичные свойства систем
353
Например, каждая система семейства может быть динамической системой на
плоскости:
х = Х(х,у), y = Y(x,y),
где X и Y-компоненты заданного гладкого векторного поля X (х,>. Тогда
каждое такое векторное поле определяет систему и может быть представлено
точкой в банаховом пространстве В с выбранной надлежащим образом нормой I
X (¦)!• Ясно, что В бесконечномерно, так как никаким конечным набором
параметров невозможно полностью задать векторное поле.
Вообще говоря, мы будем предполагать, что пространство систем является по
меньшей мере метрическим. Тогда если расстояние d (Х1г Х2) между двумя
системами мало, то можно считать, что одна из них получается из другой
при помощи малого возмущения. Мы даже будем обычно предполагать, что
пространство систем является нормированным, так что d (Xlt X,) = |Xj-
Ха||.
31.Б. ОТСУТСТВИЕ МЕРЫ ЛЕБЕГА В БЕСКОНЕЧНОМЕРНОМ ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Если система описывается конечным набором параметров а1г а",
распределенных в R" согласно некоторому непрерывному вероятностному
закону, и если некоторое свойство системы имеет место во всем R", за
исключением множества лебеговой меры нуль, то мы говорим, что оно
выполняется для почти всех систем или что вероятность того, что оно не
проявится, равна нулю.
Если п -> оо, так что при этом IRn заменяется бесконечномерным
гильбертовым пространством, то, как было показано в § 13.11 тома 1,
нельзя определить меру Лебега для предельного пространства;
следовательно, вероятностные утверждения приведенного выше типа теряют
силу. (Нелебеговы вероятностные меры обсуждаются в разд. 31.3 в конце
этого приложения.)
31.В. ТИПИЧНЫЕ СВОЙСТВА СИСТЕМ
В любом пространстве систем независимо от того, определена в нем лебегова
мера или нет, но в предположении, что оно является по крайней мере
