Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рихтмайер Р. -> "Принципы современной математической физики" -> 146

Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.

Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики — М.: Мир, 1984. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): principisovremennoymatematfiziki1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 140 141 142 143 144 145 < 146 > 147 148 149 150 151 152 .. 162 >> Следующая

проекциями нуля, 1^ или гД то траектория продолжается назад (вверх) на
задний лист поверхности L0 для х0 (^), лежащей справа от нуля, и на
передний лист для х0 (tt), лежащей слева от нуля. Нетрудно проверить
(обратившись к рис. 31.3а), что это всегда возможно и никогда не приводит
предысторию в нуль или в проекции точек rt и Д Чтобы убедиться в
непрерывной зави-
350
Гл. 31. Ранняя стадия турбулентности
симости от х00, заметим, что если х00 и х"0 близки друг к другу на линии
ветвления ВВ, то получающиеся на L0 траектории х0 (t) и Хо (t) будут
близки друг к другу в течение длительного интервала времени, но тогда это
верно и для траекторий х(() и х'(() на L в силу предположения 4 из §
31.13.
Чтобы показать, что получившаяся в F кривая имеет нужные концевые точки,
заметим сначала, что если точка х00 очень близка к проекции точки гх на
ВВ, то предыстория будет очень близка к внешнему ребру того листа
поверхности L0, который лежит позади; следовательно, в прошлом траектория
x(t) должна была длительное время находиться вблизи точки застоя в нуле и
поэтому длительное время была близка к траектории Wur(0), которая идет из
нуля к гг Наконец, если х00 находится очень близко от центра линии
ветвления ВВ, траектория уже очень близка к точке застоя и поэтому в
течение длительного времени в прошлом была близка к стационарной
траектории х(() = 0.
Аналогичная проверка того, что любая последовательность
• ••, а_2, a_j, a0 = [t, /], (31.17.1)
где предшествует символу о_к, определяет некоторое звено
из F, является более сложной, и мы отсылаем читателя к статье Вильямса,
где точечное множество F аппроксимируется с помощью так называемых
ретракцийх). Смысл этого приема состоит в том, что, если х00-точка линии
ВВ между проекциями на ВВ точек 1; и г], положим, что последовательность
(31.17.1) предписывает, какой лист поверхности Ь0 будет следующим для
предыстории х0(() каждый раз при встрече с линией ветвления, когда мы
двигаемся по траектории х0 (/) назад (вверх) через ВВ. По чисто
техническим соображениям целесообразно использовать последовательность
(31.17.1) таким образом лишь на конечном числе шагов, скажем на п шагах,
и считать, что перед этим предыстория чередовалась между двумя половинами
ВВ, как было описано выше. Тогда получившаяся траектория x(t) будет не
совсем такой, какая нам нужна, но близкой к ней и будет сближаться с ней
при п-> оо.
Утверждение о том, что каждая последовательность (31.17.1) определяет
единственное звено из F, уже было использовано в предыдущем параграфе для
установления несчетности числа листов аттрактора L.
31.18. БИФУРКАЦИЯ К СТРАННОМУ АТТРАКТОРУ
В §31.9 мы отмечали, что бифуркация в системе Лоренца при г=г0=24.74
является докритической, и упомянули о возможности
х) Или стягиваний (топ.)-Прим. перев.
31.19. Модель Фейгенбаума
351
взрывного перехода в тот момент, когда неподвижные точки Рх и Р2
утрачивают устойчивость. Однако при медленном возрастании г после
прохождения г0 движение на аттракторе L происходит без какого-либо
взрывного перехода, за исключением разве того случая, когда внезапное
возникновение движения на L может рассматриваться как взрыв.
Описанный аттрактор соответствует т=28. Если г, уменьшаясь, становится
меньше г0, то оба отверстия на ветвящейся поверхности Ь0 уменьшаются,
стягиваясь к неподвижным точкам Рг и Р2. При еще меньших значениях г
(меньших 13.96) L продолжает существовать как инвариантное множество для
движения (хотя уже не будет аттрактором), но оно достигает неподвижных
точек Рх и Р2 только при г=г0. При г, лишь немного превышающих г0,
траектория, исходящая из Рх и Р2, сразу же становится траекторией на L. В
этом смысле бифуркация при г0 происходит как внезапный переход от
стационарной траектории в точке Рх или Р2 к движению на аттракторе L.
31.19. МОДЕЛЬ ФЕЙГЕНБАУМА
В то время как аттрактор Лоренца появился в связи с докритической
бифуркацией Хопфа, в моделях Ландау - Хопфа и Рюэля - Такенса
предполагается существование последовательности закрити-ческих
бифуркаций, приводящих к инвариантным торам все более высокой размерности
(произвольно высокой в первой модели и по меньшей мере четвертой во
второй). Однако, согласно теореме Пейк-сото, существование такой
последовательности представляется маловероятным. Как было указано в конце
§ 29.10, нельзя утверждать, что при возникновении инвариантного
двумерного тора в бифуркации от периодической траектории на нем найдутся
такие траектории, каждая из которых плотно покроет этот тор. Вместо этого
типичным будет возникновение конечного числа периодических траекторий и
неподвижных точек. Другие траектории асимптотически стремятся к этим
периодическим траекториям и неподвижным точкам. Возникновение
инвариантного трехмерного тора в следующей бифуркации, по-видимому,
зависит от существования траектории, плотной на двумерном торе.
Следовательно, бифуркация к инвариантному трехмерному тору представляется
Предыдущая << 1 .. 140 141 142 143 144 145 < 146 > 147 148 149 150 151 152 .. 162 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed