Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
символ a_k, возможно выбрать (согласно утверждению 6 из § 31.14) такие
а_к_х, о_к_2, . . ., чтобы дойти до [0, 1] за конечное число шагов;
положим о_к_( = [0, 1]. Тогда, согласно утверждению 5 из того же
параграфа, о_к_(_х можно выбрать по меньшей мере двумя способами.
Следовательно, при построении последовательности можно бесконечно много
раз выбирать один из двух вариантов. Представив такой выбор на
n-м шаге двоичной цифрой ап, мы видим, что для данного а"
существует по меньшей мере столько последовательностей (31.16.1), сколько
имеется на единичном интервале вещественных чисел О.аиаха2..., т. е.
множество таких последовательностей по меньшей мере несчетно.
Отсюда следует, что линия, трансверсальная к ветвящейся поверхности Lo,
пересекает несчетное число листов аттрактора L. Пусть М - точечное
множество пересечений этой линии с L. Так как L - замкнутое множество в
R3, М - замкнутое множество
348
Гл. 31. Ранняя стадия турбулентности
на этой линии. Как было указано в § 31.9, L имеет нулевую меру Лебега в
R3; следовательно, М имеет нулевую меру на линии, так как в противном
случае декартово произведение М и куска поверхности одного из листов
аттрактора L имело бы положительную меру в трехмерном пространстве.
Следовательно, М - несчетное замкнутое множество меры нуль. Наконец, в М
нет изолированных точек, так как приведенные Вильямсом соображения
топологического характера показывают, что если звено определяется
последовательностью (31.16.1), то найдутся другие, произвольно близкие к
нему звенья, соответствующие последовательностям, которые согласуются с
(31.16.1) достаточно далеко в обратном направлении. Следовательно, М
является канторовым множеством.
Согласно утверждению 7 из §31.14, каждая из точек 1г и х, является концом
несчетного числа звеньев из F. Перенося эти звенья вдоль по потоку, мы
видим, что неустойчивое многообразие Wa (0) на всей своей протяженности
представляет собой корешок канторовой книги в соответствии с
терминологией Вильямса (см. рис. 31.9).
Последовательность (31.15.1), если она периодична, соответствует
периодической траектории на L. Взяв любую последовательность
(31.15.1), можно без труда найти такую периодическую последовательность,
которая согласуется с выбранной, скажем при-f"k<CK, где К - большое
число. Следовательно, взяв любую траекторию, можно найти периодическую
траекторию, произвольно близкую к ней, так что периодические траектории
плотны на L. (Конечно, в физической реализации или в численной модели
понятие строго периодической траектории является чистой идеализацией из-
за конечной точности и неустойчивости по Ляпунову.)
31.17. Существование звеньев в F
349
31.17. СУЩЕСТВОВАНИЕ ЗВЕНЬЕВ В F
В § 31.13 мы считали необходимым предположить предварительно, что в F
имеется хотя бы одно звено, связывающее, например, нуль с iv (Отсюда уже
вытекало существование других звеньев, если переносить первое вкруговую
по потоку до очередного его пересечения с полосой 5 и т. д.) Таким
образом, мы предположили, что аттрактор L содержит некоторую кривую,
лежащую на 5 и связывающую нуль с rt. Проекция множества F на поверхность
L0-это линия ветвления ВВ, которая является пространственной кривой. Это
хорошо подтверждается численными расчетами. Для выяснения деталей
структуры самого множества F нам придется обратиться к предположениям 1-
5, которые были сделаны в §31.13 относительно аттрактора L. Здесь мы
объясним, как из этих предположений можно сделать заключение о
существовании звена, связывающего нуль с rt (или lt с нулем - рассуждения
в этом случае будут аналогичными).
Мы рассмотрим также следующую задачу. Было показано, что если а0 = [г,
/']-символ, то любое звено, связывающее 1( с г/( определяет единственную
последовательность ..., а_2, ст_!, а0, в которой о_/г_1 всегда
предшествует символу о_к. Задача состоит в том, чтобы показать, что верно
и обратное: любая такая последовательность определяет некоторое звено,
связывающее 1г с г,-.
Свое решение первой задачи Вильямс начинает с того, что берет
произвольную точку х00 на линии ветвления ВВ между проекциями нуля и
точки г1( строит на ветвящейся поверхности L0 такую траекторию x0(t), для
которой х0(0) = х00, определяя для этого ее предысторию, а затем вводит
на L траекторию х (t), проекция которой на L0, согласно предположению 4
из § 31.13, совпадала бы с х0 (Д Это построение таково, что траектория х
(t) непрерывно зависит от положения точки х00 на ВВ\ следовательно, точка
траектории х (0) непрерывно зависит от х00, описывая при изменении х00
кривую в F, которая достигает своими двумя концами нуля и v.
Имеется много способов выбора предыстории х0 (t), приводящих к желаемому
результату, так как существует бесконечно много звеньев, связывающих нуль
с rt в F. Способ, используемый Вильямсом, состоит в том, чтобы сделать
предысторию чередующейся между двумя половинами ВВ, а именно если при
некотором ti точка х0(^) предыстории принадлежит ВВ (но не совпадает с
