Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
границей, образующей, по выражению Вильямса, "корешок канторовой книги"
(см. рис. 31.9 в § 31.16). Линия, трансвереальная к L0 точно внутри
границы, пересекается с этими листами в канторовом множестве точек, как
это будет объяснено ниже.
Обозначим через Ij, 12, . . . последовательные пересечения траектории Wf
(0) с полосой 5 (они могут лежать по любую сторону от нуля), а через г^
г2, ... - пересечения W"(0) с 5; все они
являются точками 5. При проектировании на Lu точка 1г займет на линии
ветвления ВВ крайнее левое положение, a Tj - крайнее правое положение;
проекции остальных точек будут находиться между ними.
Каждый лист аттрактора L пересекает полосу 5 по кривой являющейся
некоторым звеном множества F, и если % будет переноситься потоком
вкруговую до тех пор, пока она снова не окажется на 5 в виде другой
кривой %', то она опишет поверхностный элемент 2 в R3, как показано на
рис. 31.8, и мы будем представлять себе L составленным из таких
поверхностных элементов; % и %' являются соответственно начальной и
конечной кривыми элемента 2. Сделаем предварительное предположение о том,
что на 5 найдется кривая, соединяющая точки lj и г? и состоящая нз точек
аттрактора L. (Это предположение обосновывается ниже, а именно в §
31.17.) Такая кривая проходит через нуль и поэтому состоит из двух
звеньев множества F. Мы должны рассмотреть их отдельно, и пусть % будет
тем звеном, которое соединяет нуль с rt. Как % переносится потоком
вкруговую, описывая поверх-
344
Гл. 31. Ранняя стадия турбулентности
ность 2, так и ее левый конец, вначале расположенный в нуле, переносится
из нуля вправо вдоль W"(0), так что он, как и все точки кривой #, обходит
точку Р2 один раз против часовой стрелки; после этого он оказывается на 5
в точке lt; следовательно, конечная кривая поверхностного элемента 2
соединяет Ij с г, в S, располагаясь чуть впереди % (т. е. ближе к
наблюдателю).
Прежде чем переносить по потоку точки кривой , следует заметить, что, так
как 1у и г2 лежат по разные стороны от нуля (согласно пятому из
приведенных выше предположений), мы должны разделить %' на два звена,
скажем и #2, соединяющих lt с нулем и нуль с г2 соответственно. Тогда
будет обходить по часовой стрелке точку Р1У а #2-против часовой стрелки
точку Р2, создавая таким образом два новых поверхностных элемента на L,
скажем 2( и 22. Этот процесс можно продолжать сколь угодно долго.
В общем случае для двух данных точек \; и r/t получающихся соответственно
при пересечении Wf(0) и U?"(0) с S и лежащих по одну сторону от нуля,
может существовать (а может и не существовать) звено из F, связывающее \;
с г j (т. е. кривая на S, соединяющая 1( с г,- и состоящая из точек
аттрактора L, причем если существует одна такая кривая, то их будет
бесконечно много). Если такая кривая переносится вдоль по потоку, как это
было описано выше, она описывает некоторый поверхностный элемент 2
аттрактора L.
Нуль обозначается также через 10 и г0. Будем обозначать его через г0,
если он далее переносится вдоль Wf(0) к г1( и через 10, если он далее
переносится вдоль W" (0) к lj. Тогда общий поверхностный элемент 2
аттрактора L получается путем переноса звена, связывающего \{ с Гу в S
(теперь допускается t = 0 или / = 0), вокруг Р1 или вокруг Р2 до кривой,
соединяющей 1,-+1 с Гу+1. (Если при этом 1,-+1 и Гу+1 лежат по разные
стороны от нуля, то необходимо разделить новую кривую на два звена, как
это делалось выше.)
31.14. СИМВОЛЫ ВИЛЬЯМСА [I, j\
Если для данных i и / точки 1; и г;- связаны звеном из F (а
следовательно, бесконечно многими звеньями, как мы увидим далее), то мы
будем говорить, что определен или существует символ [t, /']. Следуя
Вильямсу, сформулируем теперь правила, позволяющие ответить на вопрос о
существовании таких символов. Наше предварительное предположение состоит
в том, что [0, 1] и [1, 0] являются символами (а отсюда и из
предположения о том, что га лежит правее нуля, следует, что [0, 2] тоже
символ). Эти правила таковы:
31.14. Символы Вильямса [t, /']
345
1) [О, 1] и [1, 0]-символы;
2) пусть [/, /]-символ; тогда
(а) если 1г+1 и г/+1 лежат соответственно слева и справа от нуля, то
[j+1. 0] и [0, /+1]-символы;
(б) в противном случае [i'4-l, /4-1]-символ.
В случае 2 (а) мы говорим, что символ [/, /] предшествует символам [/4-1,
0] и [0, /4-1] или символы [i-fl, 0] и [0, /4-1] следуют за [/, /], а в
случае 2(6)-что он предшествует символу [/-И, /+1] (может быть, лучше
было бы говорить "непосредственно предшествует"),
(Замечание. В противоположность Вильямсу мы предполагаем, как уже
говорилось выше, что 1,- и Гу никогда в точности не попадают в нуль при /
> 0 или / > 0.)
Правила выбраны так, что [/, /] предшествует [/', /'] тогда и
только тогда, когда существует поверхностный элемент 2, начальная кривая
которого связывает 1г. с Гу, а его конечная кривая
связывает 1г- с г,-. [Это описывает лишь часть конечной кривой
в случае 2(a).]
Следующие утверждения непосредственно вытекают из этих правил (некоторые
