Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рихтмайер Р. -> "Принципы современной математической физики" -> 142

Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.

Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики — М.: Мир, 1984. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): principisovremennoymatematfiziki1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 136 137 138 139 140 141 < 142 > 143 144 145 146 147 148 .. 162 >> Следующая

поверхности и затем продолжим его, двигаясь по лежащим на нем траекториям
как вперед, так и назад по времени. Если траектория обходит точку Pi, то
она движется к листу многообразия L, расположенному позади того, который
был перед этим (с точки зрения наблюдателя, смотрящего на рис. 31.3а), а
если она обходит Р2, то движется к листу, расположенному спере-
9 В оригинале kneading sequences. - Прим. перев.
31.13. Аттрактор Лоренца. Детали структуры. I
341
ди. Если она сначала обходит одну, а затем другую точку, то уже нельзя
сказать определенно, впереди или сзади от начальной точки она будет после
этого; она даже может вернуться в свою начальную точку, и тогда мы
получили бы периодическую траекторию. Один из результатов Вильямса
состоит в том, что периодические траектории плотны на L.
Роль неустойчивого многообразия Wa(0) заключается в следующем. Как было
указано в § 31.10, оно состоит из двух траекторий, которые выходят из
нуля горизонтально в двух противоположных направлениях, образуя границу
поверхности L0 и затем уходя внутрь нее. Формально возможен тот случай,
когда одна из них или обе они могут в конце концов пройти точно через
центр линии ВВ и затем асимптотически устремиться к состоянию покоя в
нуле. Мы отбросим эту возможность как маловероятную и предположим, что
они будут бесконечно долго вращаться на L0. Следуя Вильямсу, обозначим
через Wf(0) траекторию, которая выходит из нуля вправо и, следовательно,
впервые пересекает линию ВВ в ее левом конце, а через №"(0) - траекторию,
которая выходит из нуля влево и, следовательно, впервые пересекает линию
ВВ в ее правом конце. Определим так называемую последовательность обходов
для этих траекторий как ZiZ2z3..., где zh равно 1 или 2 в соответствии с
тем, вокруг какой из точек, Рх или Р2, происходит й-й виток траектории.
Ниже будет предполагаться, что эти последовательности начинаются как
2111... и 1222... соответственно для Wf(0) и Wur(0), и будет показано,
что они полностью определяют топологию аттрактора L.
Чтобы осуществить намеченное, нам придется сделать следующие
предположения [считая их, таким образом, следствиями дифференциальных
уравнений (31.9.1) - численные расчеты вполне подтверждают большинство из
них].
1. Ветвящаяся поверхность L0 и полупоток на ней являются такими, как
описано в § 31.10. [Мы говорим "полупоток", а не "поток" потому, что из-
за ветвления траектория x(t) на L0 в противоположность траектории на L не
может быть однозначно определена при t<.0, исходя из х (0).]
2. Отображение Пуанкаре ф0 линии ВВ не сохраняет близости.
3. Существует непрерывное отображение (проекция) р многообразия L на L0,
которое переводит траектории на L в траектории на L0: если x(t) -
движение на L, то р(х(^)) - движение на L0.
4. Каждое движение на L0 получается как результат действия р на
единственное движение на L. (Представляется затруднительным получить
убедительное подтверждение этого предположения численным путем.) Более
того, движение на L непрерывно зависит от движения на L0: если траектории
х0(^) и x'0(t) близки друг к другу на L0 в течение длительного интервала
времени (-Т, Т), то они
342
Гл. 31. Ранняя стадия турбулентности
будут проекциями траекторий х(/) и х' (t), близких друг к другу в
пространстве (т. е. на L) в течение длительного интервала времени.
5. Последовательности обходов для Wf (0) и Wf(0) начинаются как
2111... и 1222... соответственно. Это означает, что траектория Wf(0)
после своего первоначального обхода точки Рг затем обойдет по крайней
мере три раза (для системы Лоренца она делает это 25 раз) перед тем, как
она снова начнет обход точки Р2\ аналогичное утверждение справедливо и
для Wf(0).
Чтобы двигаться по траекториям собственно в трехмерном пространстве,
заменим линию ветвления ВВ полосой S, поперечной к L0 и пересекающей L0
по ВВ. Оказывается удобным оття-
нуть как S, так и ВВ вниз настолько, чтобы они прошли через нуль, как
показано на рис. 31.7. Мы приведем детальное описа-
def
ние пересечения Sf\L = F полосы S и аттрактора L. Множество F будет
описано в форме так называемого клеточного комплекса, состоящего из
точек, называемых вершинами, и кривых, которые называются "звеньями"1) и
каждая из которых связывает некоторую пару вершин. Мы установим, что
вершины-это нуль и точки пересечения многообразия W" (0) с полосой S, а
звенья-это пересечения составляющих аттрактор L листов с полосой S.
Множество F состоит из нуля и двух частей, лежащих по разные стороны от
линии, пересекающей полосу S в нуле. Эта линия принадлежит относящемуся к
нулю устойчивому многообразию и служит для того, чтобы отделить
траектории, которые будут в очередной раз обходить Р,, от траекторий,
которые будут в очередной раз обходить Р2.
Ч В оригинале 1-cells.- Прим. перев.
31.13. Аттрактор Лоренца. Детали структуры. I 343
Мы увидим, что Н?"(0) на всей своей протяженности является границей
бесконечно многих листов аттрактора L, которые скреплены вместе этой
Предыдущая << 1 .. 136 137 138 139 140 141 < 142 > 143 144 145 146 147 148 .. 162 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed