Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рихтмайер Р. -> "Принципы современной математической физики" -> 141

Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.

Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики — М.: Мир, 1984. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): principisovremennoymatematfiziki1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 135 136 137 138 139 140 < 141 > 142 143 144 145 146 147 .. 162 >> Следующая

вначале, они будут в конце концов отстоять одна от другой на конечное
расстояние (например, по меньшей мере на V2). Следовательно, если мы
можем пренебречь тонкой структурой графика Лоренца, то движение на
аттракторе Лоренца также станет неустойчивым по Ляпунову и тем самым
будет иметь чисто непрерывный энергетический спектр.
338
Гл. 31. Ранняя стадия турбулентности
Рис. 31.6а.
Рис, 31.66, График Лоренца для переменной W.
31.12. Статистические свойства отображений fug
ЗЗЭ
31.12. СТАТИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОТОБРАЖЕНИИ / И ff
Статистические свойства этих отображений несколько различны; первым
рассмотрим отображение g. Чтобы воспользоваться специфическими свойствамй
функции g(W), определенной в (31.11.2), представим W в двоичном виде как
W=0.a(1a1a2..., где каждое at равно 0 или 1. Тогда для g( W) будем иметь
просто
10. аха2 . .., если а0 = 0,
g (0. а0ага2 ...)=> Л ,
[ 0. ага2 ..., если а0= 1,
где черта сверху обозначает дополнение, т. е. замену 0 на 1 и 1 на 0.
Теперь предположим, что начальный элемент W0 последовательности
получающейся путем итерирования g,
выбран случайным образом исходя из равномерного распределения на
интервале [0, 1]. Тогда каждая двоичная цифра элемента W0 может с
одинаковой вероятностью быть равной 0 или 1 независимо от значений других
цифр и, более того, Wп будет меньше V2 или не меньше г/2 в зависимости от
значения п-й цифры элемента W0. Отсюда следует, что каждый элемент Wп
может с одинаковой вероятностью быть меньше 72 или не меньше V2, и
поэтому не существует корреляции между близкими членами
последовательности.
Чтобы установить соответствующие свойства отображения f, путем
итерирования / была численно сгенерирована последовательность {Zn} длиной
в 200 000 элементов (см. работу Рихтмайера [19811). Для анализа
результата на ее элементах была определена функция
/ - 1, если Zn < 1/2,
+ если Z">V2.
Среднее значение s" оказалось равным -0.1416 (около 64 стандартных
отклонений), а значимые положительные корреляции
были обнаружены между sn и s"+1, sn+2 и s"+3. Корреляции
между s" и s"+fc при уже не были значимыми по отноше-
нию к размеру взятой выборки.
Разница между свойствами отображений f и g отражает отсутствие абсолютной
непрерывности у функции ?(№), которая связывает Z и W. Ясно, что W<}/2
тогда и только тогда, когда Z= = 2 (потому что изображенный на рис. 31.4
график Лоренца
симметричен с высокой степенью точности), но поведение функции g(№) при
почти всех W не является таким же, как поведение функции f(Z) при почти
всех Z. На интервале [0, 1] найдется некоторое множество меры нуль,
которое под действием С преобразуется в множество положительной меры (в
действительности равной 1), и аналогичные множества имеются для С-1- Тем
не менее оба ото-
340
Гл. 31. Ранняя стадия турбулентности
бражения имеют аналогичное поведение; следовательно, качественные
статистические свойства системы Лоренца могут быть получены при помощи
изучения Д как это и сделал Лоренц.
31.13. АТТРАКТОР ЛОРЕНЦА. ДЕТАЛИ СТРУКТУРЫ. I
Согласно § 31.10, аттрактор Лоренца L содержит бесконечно много листов
(фактически несчетное множество), лежащих вблизи идеализированной
ветвящейся поверхности L0 и как-то связанных вместе, в результате чего
образуется некоторая многолистная структура в R3. Структура аттрактора L
была исследована Вильямсом [1977], и мы приведем его основные результаты,
изложив их на некотором интуитивном геометрическом уровне без учета
определенных топологических трудностей, таких, которые возникают из-за
наличия бесконечно многих вершин у клеточного комплекса F в ограниченной
области полосы 5 (см. ниже).
Конечно, аттрактор полностью определяется дифференциальными уравнениями
(31.9.1). Однако до сих пор неизвестен метод для его точного определения,
исходящий из этих уравнений, и даже метод для определения его общих
топологических свойств. Более того, эти уравнения являются несколько
специфическими и искусственными; следовательно, представляются более
интересными общие разновидности аттрактора, которые определяются
уравнениями, в общем аналогичными уравнениям (31.9.1). Целью работы
Вильямса было найти все аттракторы, которые связаны с ветвящимся
многообразием L0 описанного выше вида точно так же, как и аттрактор L. Он
назвал их аттракторами Лоренца в общем.
Вильямс использовал абстрактную топологическую конструкцию, называемую
обратным пределом. Топологические свойства получившегося аттрактора и
поток на нем полностью определяются заданным на L0 полу потоком, а на
самом деле так называемыми последовательностями обходов 1) для траекторий
Wf и Wf. Вильямс показал, что существует несчетное множество таких
различных аттракторов (различных в топологическом смысле).
Обнаруженные Вильямсом аттракторы могут быть вложены в R3, но вопрос о
том, какой из них будет определяться системой дифференциальных уравнений
типа (31.9.1), остается открытым.
Чтобы исследовать структуру аттрактора, следуя Вильямсу, рассмотрим кусок
Предыдущая << 1 .. 135 136 137 138 139 140 < 141 > 142 143 144 145 146 147 .. 162 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed