Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
31.11. АТТРАКТОР ЛОРЕНЦА. АПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ
Лоренц заметил, что случайность движения можно оценивать, рассматривая
последовательные максимумы Zn, п= 1,2,..., координаты Z (t) полученной
численно траектории. [Из третьего уравнения системы (31.9.1) видно, что
эти максимумы имеют место
Рис. 31.4. График Лоренца.
при пересечениях траектории с гиперболоидом, заданным уравнением Z =
(\/b) XY.] Лоренц установил, что точки (Zn, Zn+1) образуют представленную
на рис. 31.4 кривую Zn+1 = /(Zn), которая является гладкой всюду, за
исключением центральной точки возврата.
Как отметил Лоренц, Zn+1 не может быть в точности однозначной функцией от
Z", так как ее значение, вообще говоря, зависит также от значений X (t) и
У (t), взятых в тот момент, когда Z(t) = Zn. Следовательно, график
Лоренца должен быть слегка размытым и иметь некоторую поперечную
структуру, хотя возможно, и в очень узких пределах. Эта структура
отражает тонкую структуру аттрактора L, и ее можно начать раз-
336
Гл. 31. Ранняя стадия турбулентности
личать, если отклонения точек графика от гладкой кривой увеличить
примерно в тысячу раз (см. работу Рихтмайера [1981]).
Если пренебречь тонкой структурой графика Лоренца, то последовательность
{Zn}" максимумов координаты Z(t) можно рассматривать как полученную из
некоторого начального значения Z0 путем последовательного применения
отображения /: Z-*-/(Z), так что Zn+1 = /(Z").
Чтобы изучить итерации отображения статистически, рассмотрим задачу
перехода от Z к новой переменной W при помощи уравнений
Z-UW), W = l~'{Z) (31.11.1)
и постараемся по возможности упростить вид нового отображения g: W -*-
?(№)• В частности, мы хотим выбрать переход
(31.11.1) так, чтобы функция g(№) была "треугольной", т. е.
( 2W, если
*<W|-U-2r, если ¦/.<*<!. <3U1-2>
Лоренц рассматривал отображение g, основанное на этой функции, как
некоторую модель для отображения /, получающегося в его вычислениях,
чтобы качественно предсказать статистические свойства движения. Покажем,
как при определенных предположениях относительно функции /(Z) можно
построить преобразование (31.11.1) численно. Во-первых, предположим, что
координата Z преобразована линейно таким образом, что наименьшее и
наибольшее значения Zn стали равными 0 и 1. Тогда функция / (Z) будет
отображать интервал [О, 11 на себя. Предположим, что /(0) =/(1)=0.
[Насамомде-ле / (0)ж0.0035, но мы будем пренебрегать этой разностью,
поскольку она одного порядка с тонкой структурой графика Лоренца.) Будем
также предполагать, что /(Z) дифференцируема всюду, за исключением точки
возврата, и что при всех Z |/'(Z)| больше некоторой постоянной cOl. Тогда
можно показать (см. работу Руссмана и Зендера [1980] или Рихтмайера
[1981]), что существует единственная непрерывная возрастающая функция
?(№), которая переводит отображение Z->-/(Z) в отображение 1Г->-
Рис. 31.5.
31.11. Аттрактор Лоренца. Апериодические движения_______________337
Чтобы получить значения t(W), введем функции cpi(Z) и cp2(Z), обратные
для восходящей и нисходящей частей f(Z), как показано на рис. 31.5. Тогда
из (31.11.2) видно, что функция t,(W) должна удовлетворять уравнениям
?0>П = Ф1(С(21Р)), если
?(^) = Ф,(?(2-2Г)), если 1/,<Г<1.
Из этих уравнений ? (W) последовательно вычисляется для двоичных значений
W, взятых в таком порядке: № = 0, 1, V" V4, 3/4, Ve, ..., начиная с ?(0)
= 0 и ?(1)=1, а затем это делается для других значений на основании
условия непрерывности. Полученный результат представлен на рис. 31.6а, а
на рис. 31.66 представлен результат применения преобразования ?(№) к
графику Лоренца.
Функция ?(№) является непрерывной по Гёльдеру, причем показатель Гёльдера
равен log2a, где a-наивысшая оценка снизу для |/'(Z)|, но она не будет
абсолютно непрерывной; следовательно, то, что верно для отображения g: W-
>¦ g(W) при почти всех W, не обязательно верно для отображения /: Z->-
f(Z) при почти всех Z.
Следствием непрерывности функции t,(W) (для этого не требуется абсолютной
непрерывности) будет то, что отображение / не сохраняет близости (так
назвал это свойство Вильямс-см. § 31.10): если /-любой интервал a<Z<a +
e, то после некоторого конечного числа итераций п множество /"(/)
полностью покроет [0, 1]. Ясно, что / будет обладать этим свойством тогда
и только тогда, когда g также обладает им, но для g оно почти очевидно. В
самом деле, длина любого интервала / на оси W удваивается под действием
g, если g(J) не содержит точку Ц7 =V2, а в этом последнем случае длина по
крайней мере не уменьшается. Следовательно, после каждой пары итераций
длина по меньшей мере удваивается, пока для некоторого / оба множества
g(I) и g(g(I)) не будут содержать точку W = V2, а в этом последнем случае
g(g(I)) полностью покроет интервал [V2, 1], так что g(g(g(I))) покроет
[0, 1].
Отсюда следует, что итерации отображения / неустойчивы в смысле Ляпунова,
так как независимо от того, насколько две точки были близки друг к другу
