Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рихтмайер Р. -> "Принципы современной математической физики" -> 135

Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.

Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики — М.: Мир, 1984. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): principisovremennoymatematfiziki1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 129 130 131 132 133 134 < 135 > 136 137 138 139 140 141 .. 162 >> Следующая

свойство векторных полей на Ti (см. приложение к этой главе).
Соответствующее множество банахова пространства В является открытым, ноне
обязательно замкнутым: оно лишь произвольно близко примыкает к каждой
точке пространства В, которая представляет постоянное векторное поле на
Ti. Теорема Рюэля - Такенса просто утверждает, что если о существовании
инвариантного тора Т4 уже известно, то на нем движение по странному
аттрактору более вероятно, чем квазипериодическое движение.
31.4. ю-ПРЕДЕЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО ДВИЖЕНИЯ
По аналогии с § 29.7 рассмотрим на конечномерном многообразии М
динамическую систему
x=F(x), (31.4.1)
где F( )-гладкое векторное поле на М. Решение \(t) этого уравнения
называется движением на М, а множество принадлежащих М точек
у = {х (t): все (31.4.2)
называется траекторией (или орбитой) этого движения. Предположим, что
задача с начальными данными для уравнения
(31.4.1) корректно поставлена, и для любого х0 из М и всех t^O
обозначим через <р(х0, t) решение, которое начинается в точке х0; таким
образом, если x(t) - какое-либо решение, то
х (/) = <р (х (0), t). (31.4.3)
При фиксированном х функция <р(х, t)-это движение, тогда как при
фиксированном t^O-это взаимно однозначное отоб-
324
Гл. 31. Ранняя стадия турбулентности
ражение х->-ср(х, t) многообразия М на себя. Функция q>(x, t) называется
полупотоком\ она обладает полугрупповым свойством, а именно для
неотрицательных t и s
ср(ср(х, t), s) = (p(x, / + s). (31.4.4)
При / = 0 <р совпадает с тождественным отображением: (р (х, 0) = х. Будем
предполагать, что функция (р (х, () непрерывна по х и t.
Точка | из М называется ш-предельной точкой движения х (t), если для
произвольно больших времен x(t) сколь угодно близко
подходит к т. е. если существует такая последовательность
fUf. что
|хЮ-|"|~ППРИ П_ь"' (ЗМ'5)
Множество всех ш-предельных точек движения называется его <a-предельным
множеством и обозначается через Q*, где х-начальная точка движения; это
множество точек замкнуто. Для любой другой точки у той же самой
траектории Qy=Q*.
Приведем несколько простейших примеров. Если при t -> оо движение
стремится к неподвижной точке, то эта точка и будет (о-предельным
множеством данного движения. Если движение на плоскости по спирали
стремится изнутри к некоторой замкнутой кривой, то эта кривая будет ш-
предельным множеством такого движения. Если траектория движения на торе
плотно покрывает его, то для каждой точки этой траектории ш-предельным
множеством будет полная поверхность тора.
Символ (о относится к будущему времени. Если движение существует при всех
t, то, устремляя t к -оо, аналогично определяют a-предельные точки и a-
предельные множества.
Если при t ^ 0 движение х (t) остается в ограниченной области
многообразия М, то его ш-предельное множество Q непусто и с ростом
времени х (() стремится к Q, т. е.
(расстояние от x(t) до Q)->-0 при t-> оо (31.4.6)
(см. книгу Немыцкого и Степанова [1947, гл. 5, § 3]). Однако Q не всегда
будет устойчивым или притягивающим: другие близкие движения могут пройти
мимо него и никогда не возвратиться.
Имеется важная связь ш-предельных множеств с вопросом об обратимости
движения. Решение уравнения (31.4.1) не может быть в общем случае
продолжено на все отрицательные t. Например, этого нельзя сделать для
решений уравнения л: = -х3 на R [за исключением решения x(t) = 0] и,
вообще говоря, для решений уравнений Навье-Стокса из-за параболического
характера последних. Однако для некоторых специальных движений это можно
сделать.
31.5. Аттракторы
325
Из непрерывности и полу группового свойства <р следует, что если в
качестве начальной точки х (0) выбрана одна из со-предельных точек
движения х (t), то каждая последующая точка х (/0) также будет со-
предельной для х(/). Точнее говоря, если движение начинается в своей со-
предельной точке, оно там и остается. Можно доказать, что такие движения
могут также быть продолжены бесконечно далеко назад по времени и,
следовательно, принадлежат Qx(0) при всех t (см. книгу Селла [1971,
теорему II. 8]).
Этот последний результат может показаться парадоксальным с точки зрения
физических наблюдений или численного моделирования, для которых возможна
лишь некоторая конечная точность. Согласно соотношению (31.4.6), для
практических целей можно считать, что любое ограниченное движение х(/) по
прошествии конечного промежутка времени попадает в свое собственное со-
предельное множество. Отсюда не следует, конечно, что при помощи конечно-
разностных методов можно двигаться по такой траектории бесконечно долго в
обратном направлении, не удаляясь при этом от Qx<o)', это означает
только, что, если движение каким-то образом построено в прямом
направлении для достаточно большого интервала времени и уже не
наблюдается его заметного изменения, этот результат можно рассматривать
как достаточно точное приближение к такому движению, которое в идеальном
смысле принадлежит Qx(0) при всех t.
Предыдущая << 1 .. 129 130 131 132 133 134 < 135 > 136 137 138 139 140 141 .. 162 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed