Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Эти функции должны удовлетворять системе уравнений
du/dt = -2о и-"о 1 + цд2и/дх2,
dz/dt = zou + zoF +[1д2г/дхг-, (31.2.1)
здесь кружком обозначена свертка: в общем случае
ея
fog = (f°g) (х) = [1/(2л)] J f (х-у) Лу) dy\
о
"о 1 - это в точности среднее значение функции и, р, - положительная
постоянная, a F-F(x) - заданная комплекснозначная четная периодическая
функция.
Эту систему можно рассматривать как простой аналог уравнений Навье -
Стокса на компактном многообразии (на окружности) с представлением
нелинейностей в виде сверток, а не в виде адвективных членов. Функция F
(х) обозначает силу, а р. (вязкость) - это тот параметр, который можно
варьировать.
Решения этой системы можно найти с помощью разложения
ао
всех функций в ряды Фурье по х (например, и (х, t)= 2un(t) etnx\
- во
обозначения для остальных функций аналогичны). Так как преобразование
Фурье свертки двух функций равно произведению их преобразований Фурье,
члены, соответствующие различным п, нельзя группировать. В этом отношении
система (31.2.1) отличается от уравнений Навье-Стокса, но зато ее решения
можно получить в явном виде.
Нужно наложить лишь ограничения на описывающую силу функцию F (х), чтобы
эта система не оказалась слишком специальной, т. е. нетипичной. А именно
если
F(x)=t(an+ibje"*, (31.2.2)
322
Гл. 31. Ранняя стадия турбулентности
то предполагается, что бесконечно многие из ап будут больше нуля, что
отношение любых Ьп не является рациональным числом (т. е. любое конечное
их множество линейно независимо над полем рациональных чисел) и что среди
величин ajn2 нет равных.
Критические значения параметра р, - это числа ajn2, которые можно
упорядочить в виде последовательности р1>р2>р3>. . .->0. Общее решение
представляет движущуюся в бесконечномерном пространстве Q точку с
координатами ""(/), zn{t), п=0, ±1, ±2,... .... Хопф доказал, что при
р>рх неподвижная точка в нуле пространства Q притягивает все остальные
решения, так что 0 и г"->0 при /->-оо; при прохождении уменьшающегося р
через рх это решение станет неустойчивым и произойдет бифуркация к
притягивающей периодической траектории, которая развивается из нуля;
когда р, уменьшаясь, будет проходить через р2, эта траектория также
станет неустойчивой и произойдет бифуркация к притягивающему тору
(размерности 2), который развивается из этой траектории, и т. д. После 6-
й бифуркации получится 6-мерный притягивающий тор и каждая лежащая на нем
траектория плотно покроет его.
31.3. МОДЕЛЬ РЮЭЛЯ -ТАКЕНСА
В модели ранней стадии турбулентности, предложенной Рюэлем и Такенсом
[1971], предполагается, как и в модели Ландау - Хопфа, что первые четыре
бифуркации являются закритическими и что они приводят к инвариантным
торам Тк, 6=1, 2, 3, 4, каждый из которых будет притягивающим с момента
своего появления и до следующей бифуркации. Вопроса о существовании этих
торов мы коснемся при обсуждении модели Фейгенбаума в §31.19. Рюэль и
Такенс показали, что для Г4 весьма возможно движение по странному
аттрактору специального вида, принадлежащему Т*. Этот аттрактор локально
представляет собой декартово произведение двумерного канторова множества
и двумерной поверхности.
Теорему Рюэля -Такенса можно перефразировать следующим образом.
Рассмотрим банахово пространство В, каждая точка которого представляет
векторное поле на торе Г4, с нормой, включающей модули компонент
векторного поля и их производных порядка не выше 3. Две точки из В, мало
отличающиеся по норме, можно рассматривать как две физические системы,
получающиеся одна из другой путем малого возмущения векторного поля.
Тогда для любого заданного постоянного поля на Г4 (поля, для которого
угловые переменные на торе изменяются линейно со временем) и любого
заданного ех>0 существует возмущение этого поля, по норме меньшее, чем
е1( которое порождает странный аттрактор описанного этими авторами вида.
Далее, существует другое число е2>0 (возможно, много меньшее, чем ex),
такое, что странный аттрактор сохра-
31.4. ш-предельное множество движения
323
няется при наложении любого дополнительного возмущения, не превосходящего
по норме е2. Следовательно, векторные поля, порождающие странный
аттрактор, нельзя считать редкими исключениями.
В их выборе странного аттрактора есть некоторый произвол; возможны его
многочисленные вариации с сохранением сформулированного выше свойства.
В механизме возникновения странного аттрактора, обнаруженного ранее Э.
Лоренцом (см. §31.9-31.17), имеются некоторые отличия. По-видимому,
никому еще не удалось построить на конкретном многообразии конкретное
векторное поле, которое приводило бы к странному аттрактору в точном
соответствии с моделью Рюэля - Такенса. В их статье содержится важное
утверждение о том, что движения по странным аттракторам в некотором
смысле вероятны или по крайней мере не являются чем-то исключительным, а
возможно, даже типичны при некоторых обстоятельствах. В их теореме не
утверждается, что существование странного аттрактора - это типичное
