Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
применяется также и к линейным уравнениям в гильбертовом пространстве,
вырожденное неоднородное линейное уравнение имеет решение только тогда,
когда его правая часть ортогональна всем решениям соответствующего
транспонированного однородного уравнения, которыми в данном случае будут
функции Xi, . • •, Хк' если это так> то решение не однозначно, но может
30.3. Цилиндрические координаты
31!
быть сделано таковым, если потребовать, чтобы оно также было ортогонально
функциям %i %к.
Без этого или какого-либо другого сходного с ним предположения функции Ыц
могут оказаться неприемлемо большими для представляющих интерес значений
чисел Рейнольдса, что, по-видимому, будет препятствовать сходимости ряда
(30.2.7).
30.3. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
Уравнения Навье-Стокса имеют вид (см. (29.3.4) и (29.3.5))
du/dt +(u- V) u + (u-V)u + (u-V) u + Ур-vV2u = 0, (30.3.1)
V-u = 0, (30.3.2)
где u (x) соответствует основному ламинарному течению (для задачи Тейлора
это течение Куэтта). Введем цилиндрические координаты г, 0, г и
соответствующие компоненты вектора скорости и, v, w. Тогда
u = ukr + uke + i2)kz, (30.3.3)
где кг, к0, к_,-единичные векторы по направлениям возрастания г, 0 и z
соответственно. В цилиндрических координатах операторы V2 и u-V имеют вид
v дг*'гдг' г2 502 ~г дг2 '
V а (30-3-4)
и^=идг + ТШ + Шдг-
Когда эти операторы применяются к векторному полю вида
(30.3.3), нужно учитывать зависимость единичных векторов к, и к9 от 0;
дкг/д0 = к0, дке/д0 = - кг.
Для задачи Тейлора основное ламинарное течение в силу (30.1.1)
определяется из уравнений и = 0, ш = 0 и
v = v (г) = Аг + В/г. (30.3.5)
Приведенные выше уравнения, будучи объединенными, образуют систему
уравнений в частных производных относительно величин и, v, w и
р, рассматриваемых как функции переменных г, 0, г и t.
Для практического применения изложенного в предыдущем пара-
графе метода удобно представить эти уравнения в форме, указанной Иглзом
[1971],- путем введения шестимерных векторов U, V и т. д., где компоненты
вектора U это функции р, dv/dr, dwldr, и, v, w. Тогда наша система
запишется в виде
д\Цдг-^АИ-^Mdll/d( - /((И) Ц = 0, (30.3.6)
312
Гл. 30. Инвариантные многообразия в задаче Тейлора
где А, М и K(U)-операторнозначные матрицы размера 6x6, содержащие д/д0 и
д/дг, но не содержащие д/дг. [Для достижения последнего используется
уравнение неразрывности V-u = 0, при помощи которого производная ди/дг
исключается так, чтобы она осталась только в первом члене левой части
(30.3.6).] Эти матрицы выписаны в приложении к настоящей главе; они по
существу те же самые, что и в статье Иглза, и лишь слегка отличаются
обозначениями. Все элементы матриц М и /C(U) равны нулю, кроме тех,
которые расположены в правой" верхней четверти матрицы. Чтобы объяснить
обозначение K(U), рассмотрим выражение К (U) V; в нем элементы матрицы
линейно зависят от компонент вектора U и действуют линейно на компоненты
вектора V.
30.4. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО
Для задачи Тейлора теория и эксперимент одинаково показывают, что если
вихри Тейлора (а также волнистые или винтовые вихри) уже образовались, то
полное течение будет периодическим в направлении оси г с периодом,
примерно равным удвоенному расстоянию между цилиндрами, по крайней мере в
том случае, когда цилиндры очень длинны, и в таком приближении, когда
краевыми эффектами пренебрегают. Здесь же мы просто предположим, что
такая периодичность имеет место, и будем также считать известным волновое
число а, так что период будет равен 2л/а. Будем рассматривать нашу задачу
в области
и возьмем в качестве Н гильбертово пространство L2 (сЛ)" со скалярным
произведением
При таком выборе скалярного произведения задача на собственные значения,
сопряженная задаче
91: г1^.г ^.г2, О^0^2я, 0^г^2л/а (30.4.1)
(U, V) =
\J-V drdQ dz.
(30.4.2)
dll/dr-Ли - Ши = 0,
^4 = ^б = ^в = ° при /• = /-! и г = гг,
(30.4.3)
имеет вид
д\}/дг - Л*и - Ш*и = 0, и± = и2 = из = 0 при г = гх и /•=>/•,,
(30.4.4)
где А• и М* получаются транспонированием матриц А и М с заменой д/dQ и
д/дг на -д/дв и -д/дг.
Как и в предыдущем параграфе, предположим, что:
30.5. Разделение переменных в цилиндрических координатах
313
1) для данного X задача (30.4.3) имеет решение тогда и только тогда,
когда имеет решение задача (30.4.4);
2) каждая из задач имеет полную систему собственных функций, так что не
нужно рассматривать обобщенные собственные функции более высокого
порядка, например решения уравнения (д/дг-А - LVf)2U=0 и т. д.
Такие предположения подтверждаются, насколько это возможно, численными
расчетами, в которых рассчитывалось около 40 первых собственных функций.
Собственные функции Uv> для прямой задачи и U+ {J) для сопряженной задачи
могут быть выбраны так, чтобы они были биортогональными в том смысле, что
(U+('>, Л41)(<)) = 6/7. (30.4.5)
Выбор скалярного произведения в форме (30.4.2) связан с некоторым
произволом. Например, может показаться более естественным взять там rdr
