Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рихтмайер Р. -> "Принципы современной математической физики" -> 129

Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.

Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики — М.: Мир, 1984. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): principisovremennoymatematfiziki1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 123 124 125 126 127 128 < 129 > 130 131 132 133 134 135 .. 162 >> Следующая

xt, ..., хк. Этого достаточно для определения коэффициентов uq и aIv.
Чтобы найти и из (30.2.7), нужно продифференцировать хч по Xj для каждого
j, а затем использовать (30.2.9). Пусть есть /С-мерный вектор, у которого
j-я компонента равна 1, а все остальные компоненты равны 0. Тогда
dx^/dXj - qjX4-^/', (30.2.10)
следовательно,
и = 2 2 ?,аУрХр+ч-е/ыд =
(p. q 6 JS) j = 1
к
= Е X" 2 2'?/fl/Herq"q, (30.2.11)
(S6 JS) /= I (Ч) >
где через 2/ обозначена сумма по всем таким q ? 3?, для которых s + e,-q
также принадлежит 3? (при заданном s она содержит лишь конечное число
слагаемых).
Для векторов из множества 3? удобно ввести норму, положив
30.2. Построение инвариантных многообразий
309
К
I q I =" 2 Яь тогда I q | будет целым положительным числом. Если /" 1
|q| = l, то q совпадает с одним из векторов еу.
Теперь подставим и в виде (30.2.7) и и в виде (30.2.11) в эволюционное
уравнение (29.4.3) и приравняем полные коэффициенты при Xs в обеих частях
для каждого Тогда, во-
первых, если s-один из векторов ег, то квадратичные члены не дают
никакого вклада и поэтому
Но мы уже знаем, что ие. = фу; отсюда и из (30.2.1) следует, что
Тогда с точностью до первого порядка при малых xt, ..., *Л
(30.2.9) дает Xj = const• exp (k/t), чего и следовало ожидать.
Во-вторых, если s не совпадает ни с одним из е,, т. е. если i s | > 1, мы
получаем при помощи (30.2.13)
К \ К ' '
51 5уАуЛ1-"" L.) jU S- 2 2 Q f^fs + e qAlr/q ф 2 В {llqt Us - q),
./= i J /'= i (ч) ' (q)
где через 2" обозначена сумма по всем таким q ? 3, для которых s-fey-q
также принадлежит 3 и q^=s, а через 2 ^ сумма по всем таким q ? 3, для
которых s-q также принадлежит 3\ обе эти суммы содержат конечное число
слагаемых.
Теперь покажем, что эти уравнения, будучи определенным образом
упорядоченными по s?3, позволяют индуктивно определить неизвестные
функции us и неизвестные коэффициенты a,s. Предположим, что уравнения
(30.2.14) расположены в таком порядке, что все уравнения с данным
значением |s| всегда идут раньше уравнений с большим значением | s) и для
каждого из уравнений все входящие в него функции и коэффициенты,
входившие и в предыдущие уравнения, уже определены. (Порядок следования
уравнений с одним и тем же значением |s| не имеет значения.) Мы
утверждаем, что тогда впервые появившиеся в правой части (30.2.14) уже
известны. Действительно, там для большинства членов |q|<|s|, кроме тех,
для которых q=s+ +е,--е, при 1ф} (назовем такое q не равным s); однако
член с таким значением q содержит коэффициент а/в/. равный нулю в силу
(30.2.13); следовательно, все мч, впервые появляющиеся в правой части
уравнения, можно считать известными. Поэтому
к
2 aieMue- Lue =0 (/=1, ..., К). (30.2.12)
г-= 1 1 > 1
при 1=1, при / Ф I.
(30.2.13)
(30.2.14)
310
Гл. 80. Инвариантные многообразия в задаче Тейлора
неизвестными в каждом уравнении будут функция ", и коэффициенты ais (I -
1, . .К).
Чтобы определить коэффициента^ при некотором 1 = 1,..К, умножим скалярно
обе части (30.2.14) на вектор Хг- Тогда в левой части получится нуль, а в
правой части все члены из первой суммы будут равны нулю, кроме тех, для
которых q = e, и / = /; следовательно,
После того как эти коэффициенты найдены для /=1, ..., К, уравнение
(30.2.14) можно разрешить относительно us. Таким путем определяется
инвариантное /(-мерное многообразие М в той окрестности нуля пространства
Н, в которой сходятся ряды
(30.2.7) и (30.2.9).
Именно этот метод применяется в работах Дэви [1962], Дэви, Ди Примы и
Стюарта [1968] и Иглза [1971]. Хотя эти авторы не описывают метод таким
образом, его основная отличительная черта - это построение неустойчивого
многообразия, происходящего из нуля пространства Н\ тогда уравнения
(30.2.9) представляют конечномерную динамическую систему на этом
многообразии и могут изучаться любым из стандартных методов как
аналитически относительно неподвижных точек и циклов, так и численно,
когда траектории получаются в результате решения обыкновенных
дифференциальных уравнений.
Важным моментом в их методе является предположение об ортогональности
всех "q (кроме тех, для которых |q|=l) системе сопряженных функций Хь • •
•, Хк- У нас это предположение отражено в виде равенств (30.2.5) и
(30.2.6) просто как удобный способ задания координат Хх, . . ., хк на
неустойчивом многообразии, однако оно имеет более глубокий смысл и
представляет собой тот главный фактор, который делает применение метода
успешным.
Каждая функция us определяется через известные величины с помощью
неоднородного уравнения (30.2.14), которое на практике оказывается
дифференциальным уравнением с граничными условиями. Для некоторых из этих
уравнений, когда число Рейнольдса близко к одному из критических
значений, оператор в левой части становится почти вырожденным и на самом
деле вырождается, когда число Рейнольдса совпадает с этим значением.
Согласно теореме об альтернативе Фредгольма из линейной алгебры, которая
Предыдущая << 1 .. 123 124 125 126 127 128 < 129 > 130 131 132 133 134 135 .. 162 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed