Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
выполнение которых гарантирует существование инвариантной предельной
кривой Й'оо, обсуждавшейся в основном тексте. Во-первых, кольцо
(29.10.11) отображается в кольцо (29.10.12), если
max | / | ц < 15/ю24 и ц < 3/13,
где шах | / | означает максимум величины | / (г, 0, ц) | в некоторой
области г<Н, IbI<Bi, в которой отображение Пуанкаре имеет нормальную
форму (29.10.9), (29.10.10). Во-вторых, оценка (29.10.14' для drn/dQ
справедлива, если дополнительно
шах | fr | с^ц3''2+5шах | / | с4ц+тах | /0| с4 У ц < х/в
и
2 | с3 | с4 |Ац + тах |gr | с4ц2+4 max | g | с4ц3/2+тах | g0 | с4ц < 1/в,
где
с4 = 4/(3 - Cj).
Наконец, оценка (29.10.13) выполняется при /( = 1 - ц/6, если
дополнительно
21 с3 | с4 \Г ц+ max | gr | с4ц2+ 4 max | g | с4ц3/2+ 5 шах | / | с4ц+
+ шах | fr |c|pt3/2 < V6.
Глава 30
ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ В ЗАДАЧЕ ТЕЙЛОРА
Представление конечномерных многообразий в гильбертовом пространстве
степенными рядами; координаты на многообразии; определение коэффициентов
разложения; динамические системы на многообразиях; разделение переменных;
вихри Тейлора, волнистые вихри; винтовые вихри.
Предварительные сведения: гл. 29.
Эта глава посвящена методу нахождения неустойчивого многообразия, которое
возникает из основного течения в гидродинамических задачах,
рассматривавшихся Дэви 119621, Дэви, Ди Примой и Стюартом [19681 и Иглзом
[1971] в связи с исследованием задачи Тейлора. Хотя результаты, которые
были получены до сих пор этим методом, являются довольно ограниченными,
он остается пока что единственным известным приемом для решения таких
задач (см. также работу Хассарда [1980], посвященную аналогичному методу
для конечномерных пространств). Вероятно, методы такого рода будут
необходимы для детального понимания процесса возникновения
турбулентности.
30.1. ОБЗОР РЕЗУЛЬТАТОВ ПО ЗАДАЧЕ ТЕЙЛОРА,
ПОЛУЧЕННЫХ К 1968 Г.
Пусть Г! и г, - радиусы внутреннего и внешнего цилиндров (предполагаемых
бесконечно длинными), ограничивающих течение, a Qj и Qj - угловые
скорости цилиндров. Для невозмущенного течения угловая скорость на
радиусе г (rj^r^rs) равна
Q (г) = А + В/г\ (30.1.1)
где А и В определяются из условия прилипания на стенках, а именно Qj = А
+ В/г\ и Q2 = А + В/г\. Эту задачу можно охарактеризовать различными
безразмерными параметрами, например параметром rjr2 (который фиксирован
для данной физической установки), и двумя числами Рейнольдса
^1=Q1r?/v, R2 = Q2rl/v. (30.1.2)
Устойчивость основного ламинарного течения Куэтта, заданного в виде
(30.1.1), по отношению к малым осесимметричным возмущениям изучалась
Тейлором [1923] как теоретически, так и экспери-
30,1. Обвор результатов по задаче Тейлора
305
ментально. Он установил устойчивость для значений величин и R2,
соответствующих точкам, лежащим ниже сплошной кривой на рис. 30.1, для
случая rjr2-0.880. Еще ранее при помощи простых соображений Релей
показал, что течение будет устойчивым при 0<R,<R2, т. е. для случая,
когда точка (Rt, R2) находится справа от штриховой прямой на рисунке.
Л,
А
^г/
уГ /
/
/
/
/
- \ \
/
/
/
/
/
/
/
/
/
С W1
Рис. 30.1. Схематическая диаграмма тейлоровской устойчивости.
Вычисления Тейлора показывают, что, как только Ru возрастая, превысит при
фиксированном R2 свое критическое значение (т. е. значение на кривой),
основное течение становится неустойчивым относительно собственного
колебания, поле скоростей которого в цилиндрических координатах г, 0, г
имеет вид
u = Re [f (г) eia2]. (30.1.3)
Структура этого возмущения представляет собой ряд кольцевых вихрей,
равномерно расположенных вдоль оси г, как схематически показано на рис.
29.1 в предыдущей главе. Тейлор установил, что экспериментально
наблюдаемые вихри (которые можно сделать видимыми при помощи взвешенных
частиц) в жидкости качественно согласуются с вычислениями; в частности,
их осевое разделение согласуется со значением а из (30.1.3), для которого
возмущение впервые становится неустойчивым (т. е. возмущение устойчиво
при меньших значениях RJ.
При R1, ненамного превосходящем свое критическое значение, вихри
(называемые теперь вихрями Тейлора) будут устойчивыми; вместе с основным
течением, на которое они накладываются, они образуют новое стационарное
течение (в каждой точке пространства вектор скорости жидкости не зависит
от времени), которое будет существовать до тех пор, пока цилиндры не
перестанут вращаться.
306
Гл. 30. Инвариантные многообразия в задаче Тейлора
Тейлор наблюдал экспериментально, что при достижении параметром Ri
следующего критического значения вихри становятся волнистыми и вращаются
вокруг оси со скоростью, примерно равной средней угловой скорости
(Qi+Qa)/2.
Анализ Тейлора, будучи линейным, годится лишь для исследования течения
только до достижения параметром Rx первого критического значения и
непосредственно после этого; он не позволяет судить об устойчивости или
неустойчивости вихрей Тейлора, а лишь фиксирует факт их возникновения.
