Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рихтмайер Р. -> "Принципы современной математической физики" -> 124

Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.

Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики — М.: Мир, 1984. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): principisovremennoymatematfiziki1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 118 119 120 121 122 123 < 124 > 125 126 127 128 129 130 .. 162 >> Следующая

КК = o±m = o(R)± ко (R), (29.9.1)
где
o(Rc) = 0, о' (Re) > 0, <&(Re) Ф 0. (29.9.2)
Теперь многообразие М двумерно. Вместо комплексно сопряженных координат
Xi и мы введем в М вещественные координаты х и у, так что Xi=x+iy, х3=х-
iy.
В первом приближении движение в М, согласно (29.7.4) и (29.7.5),
описывается уравнением
d(x + iy)/dt = ^(х + iy) = (сг + t'w) (х + iy).
Вблизи нуля траектории приближенно будут выглядеть как спирали:
(х + iy) " const ¦ (cos wt + i sin co^).
В полярных координатах мы имеем
r = er + 0(r2), 0 = о) + О (г). (29.9.3)
Отсюда следует, что в некоторой окрестности нуля на любой траектории 0
всегда возрастает, а г всегда положителен; г может как возрастать, так и
убывать; вблизи нуля г возрастает при ст>0 и убывает при о<0. Теперь
попробуем понять, что будет чуть дальше от нуля.
29.10. Бифуркация к инвариантному тору
297
Определим для нашей задачи отображение Пуанкаре как отображение х -> Ф(я)
оси х в М, полагая, что если траектория имеет координаты х, 0 при
некотором t, то она будет иметь координаты Ф(я), 0, когда 0 увеличится на
2л. Заметим, что х иФ(1) могут быть либо одновременно положительными,
либо одновременно отрицательными. Пусть
Ф(*) = *(1+?(*))• (29.9.4)
Структура траектории зависит от свойств функции g(x). Из формул,
описывающих спираль вблизи нуля, вытекает, что
1 + g (0) = е2я°/" ; (29.9.5)
в частности, g(0)=0 при R=RC, поскольку тогда о=0. Следовательно,
разложив g(x) в ряд Тейлора по х и по разности R - Rc, мы будем иметь
g(x) = g(x\ R) = ax + b(R-Rc) + cx2+... . (29.9.6)
Коэффициент а должен быть равен нулю, так как в противном случае функция
g(x, Rc) имела бы противоположные знаки при д?>0 и х<0 вблизи точки х=0,
а отсюда следовало бы, что траектория должна быть самопересекающейся, т.
е. ее второй виток с
одной стороны был бы дальше от нуля, чем первый, а с
другой
ближе. Коэффициент Ъ положителен, так как, согласно предположению
(29.9.2) относительно о, траектории вблизи нуля раскручиваются по спирали
при R~>RC и скручиваются при R<iRc.
Рассмотрим на плоскости х, R множество точек, удовлетворяющих уравнению
g(x, R)= 0. Если х0, Ro - одна из таких точек, то при R=R0 будем иметь Ф
(*")=*,), т. е. существует замкнутая траектория, пересекающая ось х при
х=х<>. Это множество содержит точку х=0, R=RC] вблизи этой точки оно
представляет собой кривую, которая пересекает ось R горизонтально; эта
кривая направлена вверх, как на рис. 29.5, б, если с<?0, и направлена
вниз, как на рис. 29.5, в, если ?>0. Бифуркация называется закритической
в первом из этих двух случаев и докритической во втором. Как и в
предыдущем параграфе, следует ожидать взрывного перехода, если ?>0.
29.10. БИФУРКАЦИЯ ОТ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ТРАЕКТОРИИ К ИНВАРИАНТНОМУ ТОРУ
Следующая бифуркация после той, которая привела к замкнутой траектории,
т. е. к периодическому движению,, может привести к двумерному
инвариантному тору, как это показывает пример Хопфа [1948]. Теоремы об
этой бифуркации приводятся у различных авторов, включая Наймарка [1959],
Саккера [1964], Рюэля и Такенса [1971] и Ланфорда [1973]. Такие теоремы
основываются главным
298
Гл. 29. Бифуркации в задачах гидродинамической устойчивости
образом на теории Флоке, но мы выберем более наглядный подход,
опирающийся на понятие отображения Пуанкаре.
Пусть Rx- критическое значение числа Рейнольдса R, характеризующее первое
появление периодических траекторий в за-критической бифуркации,
обсуждавшейся в предыдущем параграфе. Предположим, что при некотором R >
Rt размерность неустойчивого многообразия М равна К. Многообразие М
содержит двумерное многообразие, описанное в предыдущем параграфе, и мы
предположим, что координаты в М выбраны так, что первые две из них - это
координаты х, у из предыдущего параграфа; остальные координаты обозначим
через х3, ..., хк.
У
Рис. 29.7.
Тогда, если R лишь немного превосходит Rit то замкнутые траектории
обходят нуль в подпространстве х, у и каждая из них один раз пересекает
положительную и отрицательную полуоси оси х. Пусть V есть (К-1)-мерная
гиперповерхность в М, заданная уравнением у = 0; тогда V дважды
пересекается замкнутой траекторией, как схематически показано на рис.
29.7, и мы обозначим одно из этих пересечений как х = | = |(/?), гДе х
есть (К - 1)-мерный вектор с компонентами х, х3, ..., хк. Для х, близких
к |, определим Ф (х) как вторую по счету точку пересечения V с той
траекторией, которая начинается в х (см. рисунок). Тогда
Ф: х-+Ф(х)
--отображение Пуанкаре, определенное в некоторой окрестности точки | в V.
Отметим, что Ф(|) = |. Для х, близких к |, после линеаризации будем иметь
Ф(х)-|==.М(х-!) + члены высших порядков, (29.10.1) где М - матрица
размера (К - 1) х (/С- 1).
29.10. Бифуркация к инвариантному тору
299
Теперь предположим, что М имеет одну пару собственных значений а (= а
(R)) и а с соответствующими им собственными векторами v, v, такую, что
тогда как все прочие собственные значения М лежат внутри единичной
Предыдущая << 1 .. 118 119 120 121 122 123 < 124 > 125 126 127 128 129 130 .. 162 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed