Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рихтмайер Р. -> "Принципы современной математической физики" -> 122

Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.

Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики — М.: Мир, 1984. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): principisovremennoymatematfiziki1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 116 117 118 119 120 121 < 122 > 123 124 125 126 127 128 .. 162 >> Следующая

многообразие будет в нуле касаться линейного многообразия Мй, натянутого
на собственные векторы i|>j, ..., фд-(см. рис. 29.4). Многообразие М
инвариантно относительно полупотока в Н, определенного при помощи
(29.4.1), в том смысле, что любая траектория, начинающаяся на М, не
выходит из М, поскольку, согласно (29.7.1), сдвиг начала отсчета времени
на /0, очевидно, эквивалентен изменению значений параметров по правилу
ак->акек?о.
292
Гл. 29. Бифуркации в задачах гидродинамической устойчивости
Лежащие в М траектории можно интерпретировать как движения некоторой
динамической системы с К степенями свободы. Свойства этой системы мы и
хотим изучить.
М называется неустойчивым многообразием в Н, исходящим или зарождающимся
из нуля. Неустойчивое многообразие, исходящее из любой другой
фиксированной точки в //, можно определить аналогичным образом после
предварительной линеаризации эволюционного уравнения в окрестности этой
точки.
По поводу неустойчивых многообразий, исходящих из замкнутых или
квазипериодических траекторий, мы рекомендуем читателю книгу Абрахама и
Роббина [1967] (точнее, написанное Келли приложение С к ней).
Многообразие М является локально притягивающим в следующем смысле:
существует такая окрестность нуля, что любая траектория, принадлежащая
этой окрестности при всех ?>0, стремится к М при /-"- оо. Мы не будем
уточнять это утверждение, за исключением одного случая: если М возникает
в результате за-критической бифуркации при R=RC (именно такие примеры
рассматриваются в оставшихся параграфах этой главы), то при R>RC
многообразие М будет содержать новую неподвижную точку (в дополнение к
нулю) или новую замкнутую траекторию - инвариантный тор, которая
находится вблизи нуля и является устойчивой (в действительности
притягивающей) относительно возмущений, принадлежащих М\ тогда если
разность R - Rc достаточно мала, то этот новый инвариантный объект будет
притягивающим для произвольных малых возмущений (не обязательно
принадлежащих М). Например, Дэви [1962] показал, что вихри Тейлора
устойчивы в соответствующем двумерном неустойчивом многообразии, и мы
заключаем отсюда, что при достаточно малой величине разности R - Rc они
будут устойчивы относительно произвольных малых возмущений, как это и
наблюдается в экспериментах.
В линейном приближении локальная устойчивость М отражает экспоненциальное
затухание со временем всех собственных колебаний кроме тех из них,
которые вызвали появление М [см. (29.7.1)].
Координаты в М можно выбирать различными способами.
Более удобными по сравнению с параметрами аг ак являются
координаты xi, . . ., хк, получающиеся при помощи проектирования на
линейное многообразие М0, касательное к М в нуле пространства Н. Для
любого и ? Н такая проекция получается в результате действия на него
оператора Р, а именно
Ришт 2(х*. н)Ф*. (29.7.2)
feel
гДе {%Ji} - система собственных функций сопряженной задачи, образующая
базис, биортогональный к {ф^}. Следовательно, координаты любого и из
неустойчивого многообразия М вычисля-
29.7. Приведение к конечномерной динамической системе
293
ются по формулам
** = (Х*. и), * -1......./С- (29.7.3)
Для траекторий на Af уравнение движения (29.4.1) примет вид
xk',= Fk(xi, •••• хк), k=l,...,K. (29.7.4)
Для точек вблизи нуля будем иметь
Fk(x1, ..., хк) - Xkxk + члены высшего порядка. (29.7.5)
Алгоритм вычисления функций Fk описывается в следующей главе. Он основан
на том соображении, что если и(хх, . . ., хк) - точка многообразия М (она
входит и в й), имеющая координаты Хх, . . ., хк, a {xfe(/)} (Аг=1, . . .,
К) - любое решение системы
(29.7.4), то функция
u(0-M(*i(O. .... **(0) (29-7.6)
должна удовлетворять в Н эволюционному уравнению (29.4.1). Этого
требования вполне достаточно для определения как зависимости хк(') от t,
так и зависимости "(...) от {xfe}. В алгоритме предполагается
аналитичность по всем аргументам, и поэтому и(х 1, . . ., хк) можно
представлять в виде степенных рядов по xk с коэффициентами из
пространства Н, a Fk(xu . . ., хк) - в виде обычных степенных рядов. Это
предположение следует рассматривать как предварительное, хотя оно и
подкрепляется тем известным фактом, что решение уравнений Навье - Стокса
принадлежит по крайней мере С" (см. книгу Марсдена и Мак-Кракена [1976]).
Для "-мерных обратимых систем, рассматриваемых в небесной механике, можно
определить также устойчивое многообразие, зарождающееся из нуля (и
аналогично из любой другой неподвижной точки); оно касается в нуле
линейного многообразия, натянутого на оставшиеся собственные векторы Фк+ь
• • ¦, фп- Его можно охарактеризовать как состоящее из таких движений
u(t), для которых и ({)-*¦ 0 при t-*-oo. В действительности устойчивое
многообразие обычно вводится первым, а затем неустойчивое многообразие
определяется как такое устойчивое, которое получилось бы при замене t на
-t. Хотя в гидродинамике большинство движений не допускает обращения по
времени, часть из них, образующая неустойчивое многообразие М, допускает
Предыдущая << 1 .. 116 117 118 119 120 121 < 122 > 123 124 125 126 127 128 .. 162 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed