Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
du/dt = Lu + В (и, и), u. = u(t)?H, 0, (29.4.1)
и начальным условием
и(0) = и0 (заданная функция). (29.4.2)
Для каждого t элемент u(t) является точкой пространства Н и описывает
мгновенное состояние системы, т. е. поле скоростей и (х) и поле давлений
р (х) в физическом пространстве; L - линейный оператор. Уравнение Навье -
Стокса, взятое в форме (29.4.1), содержит нелинейные квадратичные члены,
совокупность которых обозначена через В (и, и), где В (•, •) - билинейная
функция с надлежащей областью определения в пространстве НхН. Иногда
вместо В (и, и) мы будем писать Q(u).
В ряде случаев удобно рассматривать более общее уравнение
М du/dt = Lu В (и, и), (29.4.3)
где М - другой линейный оператор. Если М допускает обращение, то это
уравнение может быть сведено к (29.4.1). Но нередко эволюционный процесс
охватывает не все пространство Н, а лишь некоторое его подпространство
Н0- Тогда М допускает обращение на этом подпространстве, а не на всем
пространстве Н, и к тому же оператор М~1 может оказаться достаточно
сложным с вычислительной точки зрения. Поэтому уравнение (29.4.3) часто
оказывается полезным.
В следующей главе рассматривается гильбертово пространство специального
вида, удобное для решения задачи Тейлора.
29.5. ЗАДАЧА С НАЧАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ. ПОЛУПОТОК В Н
Основными членами в уравнении Навье - Стокса (29.3.1) являются первый и
последний члены в левой части - они делают его сходным с уравнением
диффузии. Задача, определяемая соответствующим уравнением диффузии с
подходящими граничными условиями, имеет единственное решение для
начальных элементов и из некоторого плотного в Н множества, и это решение
непрерывно зависит от начального и. Благодаря этой непрерывной
зависимости можно определить обобщенные решения для любых начальных
элементов и, и они также будут непрерывно зависеть от начального и (см.
книгу Рихтмайера и Мортона [1967]). В общем случае решение не может быть
продолжено назад, в сторону от-
288
Гл. 29. Бифуркации в задачах гидродинамической устойчивости
рицательных i, хотя иногда это возможно; в частности, это возможно для
решений, являющихся собственными колебаниями.
Полное нелинейное уравнение Навье - Стокса обладает аналогичными общими
качественными свойствами (см. работы Ладыженской [1970, 1975] и книгу
Марсдена и Мак-Кракена [1976, гл. 91), однако доказательства в этом
случае усложняются, а теория выглядит менее полной.
Будем предполагать, что каждое из уравнений (29.4.1), (29.4.3) имеет в Я
единственное решение и (t) при t ^ 0 для произвольного и (0)С Я. Для
заданного начального и обозначим это решение через ф(и, t), т. е. положим
и(П = ф(и(0), t). (29.5.1)
При фиксированном и функция ф(и, t) (1 ^ 0) называется движением в Я; при
фиксированном t^O соответствие и->ф(и, t) является отображением в Я, и мы
будем считать его непрерывным; при 1=0 оно совпадает с тождественным
отображением, поскольку ф (и, 0) = и. Функция ф(-, •) называется
полупотоком в Я.
Хотя движения в общем случае не могут быть непрерывно продолжены назад по
времени, такое продолжение, если оно существует, определяется однозначно.
Иначе говоря, два различных движения за конечное время никогда не могут
слиться и стать далее неразличимыми.
29.6. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Возьмем в качестве линеаризации (29.4.1) уравнение
du/dt = Lu (29.6.1)
и будем искать решения этого уравнения в виде
и (Г) = (29.6.2)
Это означает, что нужно найти собственные функции ф и собственные
значения X оператора L, т. е. решить уравнение
Еф = 7ф (29.6.3)
при условии, конечно, чтоф^О. [Если исходить из (29.4.3), то нужно решать
уравнение Еф=7ЛТф.[
В гидродинамических задачах оператор L не является самосопряженным, и
поэтому мы не можем применить обычную спектральную теорию. Тем не менее в
большинстве случаев L имеет чисто точечный спектр, состоящий из счетного
числа собственных значений, так что
MV = V(V (/==1,2,...). (29.6.4)
25.6. Собственные колебания
289
Обсуждение вопроса о полноте системы {ф7} собственных функций для
определенных гидродинамических задач можно найти в статье Ди Примы и
Хабетлера [1969], которые использовали для этого теорему Наймарка об
операторах в гильбертовом пространстве. Более общий подход излагается у
Сэттинджера 11970], применившего теорему Карлемана. Полнота понимается в
том смысле, что конечные линейные комбинации функций ф7- плотны в Н. При
этом имеется в виду, что рассматриваются не только собственные, но и
обобщенные собственные функции (если они существуют), т. е. такие векторы
ф, для которых
(L-M)*+4' = 0, (Ь-Х/)"урФ 0. (29.6.5)
(При fe=0 ф - обычная собственная функция.)
В гидродинамике всегда предполагается, что для задач на собственные
значения существуют лишь обычные собственные функции. По аналогии с
конечномерным случаем кажется вероятным, что существование обобщенных
собственных функций не является типичным свойством течений жидкости (см.
приложение к гл. 31). Матрицу А размера tiXti можно рассматривать как
