Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Наконец, уравнения (28.9.9) можно рассматривать как дифференциальные
уравнения относительно функций gJk(j, 6=1, 2, 3, / ^ k). Однако эти
уравнения содержат также и функции ga4 [в членах, скрывающихся за
многоточием в (28.9.5)]. Эти четыре функции можно произвольно (но гладко)
доопределить на все пространство-время, проследив только за тем, чтобы
они соответствовали значениям gai и dgai/dxi, заданным на поверхности
с7(л;4 = 0). Но поскольку g44=^0, (28.9.5) показывает, что уравнения
(28.9.9) определяют вторые производные по времени от
282
Гл. 28. Расширение многообразий Эйнштейна
всех gjk. И снова, согласно теореме Коши-Ковалевской, эти уравнения имеют
при заданных начальных данных единственное решение на некотором интервале
0 ^.х1^.Т.
78.10 ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Общая задача расширения многообразий Эйнштейна далеко не решена. Почти
ничего не известно о существовании или единственности геодезически полных
расширений. Простые многообразия в § 28.7 не имеют таких расширений, а
следующее многообразие имеет много расширений. Рассмотрим единственную
карту, в которой g^v определяются матрицей
на ограниченной области N координатного пространства. В одном из
геодезически полных расширений N' совпадает с R4, a g^v всюду задаются
как (28.10.1). Это-стационарное плоское пустое пространство. В другом
расширении N' снова совпадает с R4, но при этом имеются некоторые
гравитационные волны, которые еще не достигли области пространства-
времени, представленной областью N. Почти ничего не известно и о задаче
Коши, за исключением существования и единственности решения на некотором
интервале времени 0 ^х"^Т. Даже если имеется единственное решение для
всех х\ . .., xi, оно все еще образует одну карту, которая может
оказаться неполным многообразием.
(0)
1
(0)
-1
(28.10.1)
Глава 29
БИФУРКАЦИИ В ЗАДАЧАХ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
Эволюционное уравнение; уравнения Навье-Стокса; течения Пуазейля и
Куэтта; вихри Тейлора; волнистые вихри; потоки и полупотоки в
гильбертовом пространстве; собственные колебания; полнота системы
собственных колебаний; инвариантные многообразия; устойчивые и
неустойчивые многообразия; неподвижные точки, замкнутые траектории и
инвариантные торы; бифуркации; закритические и докритические бифуркации;
субгармонические бифуркации; отображения Пуанкаре.
Предварительные сведения: гл. 1-8 и основы гидродинамики.
Работы Лоренца [19631 и Рюэля и Такенса [19711 положили начало применению
в теории гидродинамической устойчивости концепций и принципов одного из
современных и быстро развивающихся разделов математики - теории
топологических динамических систем. Сразу стало ясно, что эти концепции
(например, концепция типичных свойств систем) применимы, по существу, во
всех физических теориях. Новые концепции и принципы позволяют по-новому
взглянуть на давно известные явления, такие, например, как бифуркации.
Идея странных аттракторов и их связь с непрерывными энергетическими
спектрами дают новое представление о хаотическом поведении в целом.
В этой и в двух следующих главах показывается применение таких новых идей
для изучения начальной стадии образования турбулентности.
29.1. КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ
ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ устойчивости
Будем рассматривать слабо неустойчивое течение несжимаемой вязкой
жидкости. Это течение является более гладким и простым, чем хаотическое
течение, характерное для полностью развитой турбулентности, и в то же
время обладает свойствами неустойчивости и непредсказуемости, которые
можно изучать аналитически. Пусть создающая течение установка работает
так, что число Рейнольдса медленно возрастает. Нас будет интересовать та
стадия течения, на которой турбулентность только зарождается.
Течение - это, иначе говоря, баланс между устойчивым потоком энергии от
некоторого внешнего источника и ее диссипацией за счет вязкого трения. В
классических задачах типа задачи Пуа-
284
Гл. 29. Бифуркации в задачах гидродинамической устойчивости
зейля энергия передается внешним градиентом давления, который, например,
вызывает движение жидкости в длинной круглой трубе или в щели между
параллельными плоскими стенками; в задачах Куэтта энергия поступает за
счет бокового движения стенок, таких, как скользящая плоская стенка или
вращающийся цилиндр; в задачах Бенара она поступает от внешнего источника
тепла, который вызывает тепловую конвекцию. Другими примерами такого рода
являются течение за круговым цилиндром (задача Кармана) и течение в
пограничном слое над плоской пластиной, параллельной основному потоку
(задача Блазиуса).
Конкретную задачу обычно можно охарактеризовать некоторой длиной /0 и
некоторой скоростью По, где /0 может быть диаметром или каким-либо другим
характерным размером, а п0 - средней скоростью течения или скоростью
движения одной из стенок. Безразмерная величина
R=*l0vjv, (29.1.1)
где v - кинематический коэффициент вязкости (равный коэффициенту
вязкости, деленному на плотность жидкости), называется числом Рейнольдса
