Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рихтмайер Р. -> "Принципы современной математической физики" -> 117

Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.

Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики — М.: Мир, 1984. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): principisovremennoymatematfiziki1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 111 112 113 114 115 116 < 117 > 118 119 120 121 122 123 .. 162 >> Следующая

координат в области х4 > 0, оставляющего без изменения начальные данные
на начальной поверхности х4 = 0.
Так как дифференциальные уравнения (28.9.3) имеют второй порядок,
начальными данными служат значения функций
g^v, dg^Jdx4 (для всех х1, х2, х8 при х4=0). (28.9.4)
Из уравнения х4 = 0 начальной гиперповерхности if не следует, что
плоская, потому что метрический тензор gJk на if произволен (напоминаем,
что латинские индексы принимают значения 1, 2, 3), однако предполагается,
что начальные данные таковы, что матрица (g/k) размера 3x3 положительно
определена на if; кроме того, матрица (g^v) должна быть на if
невырожденной и иметь сигнатуру 2. Отсюда следует, что if
пространственноподобна, причем, используя формулу для обращения матрицы,
можно убедиться, что на if g44 < 0. Ради упрощения рассуждений будем
предполагать, что функции (28.9.4) являются аналитическими, так что для
решения задачи Коши можно использовать метод степенных рядов. В этом
случае все частные производные от g^v (включающие не более одного
дифференцирования по х4) определяются на if функциями (28.9.4).
280
Г л. 28. Расширение многообразий Эйнштейна
Компоненты R$y тензора Риччи получаются из выражения
(27.10.1) для Rapv6 сверткой по индексам а и б, т. е. умножением
уравнения на ga6, а затем суммированием по а и б от 1 до 4. В результате
получается
Я/* = ЩнКдх')' + ..., (28.9.5)
Я/. = - V2glft d*g/k/(dx*y +..., (28.9.6)
^44 = 1/2g/ft dtgJh/(dxt)t+... . (28.9.7)
Здесь выписаны только те члены, которые содержат вторые производные
пол:4, многоточием же обозначены члены, содержащие производные по л;4 не
выше первого порядка. [В (28.9.6) и (28.9.7) используется соглашение о
суммировании, однако латинские индексы принимают значения 1, 2, 3.] Так
как g44=^0, дифференциальные уравнения RJk = 0 и начальные данные
определяют вторые производные от gjk на of. При подстановке этих
вторых производных в оставшиеся четыре уравнения Др4 = 0
получаются че-
тыре начальных условия, причем вторые производные от gp4 по л;4 остаются
неопределенными.
Эволюционные уравнения допускают разделение переменных при помощи
вспомогательного условия, предложенного Лихнеро-вичем (см. Адлер, Базин и
Шиффер [19651, где имеется превосходное обсуждение задачи Коши). Тензор
Эйнштейна в смешанной форме имеет вид
= р-1/,Яб"р, (28.9.8)
где Rafi = gayRyts-смешанная форма тензора Риччи, а R =gllVRllv -
скалярная кривизна. Оказывается, что система дифференциальных уравнений
Я/* = 0 (/, * = 1, 2, 3, /<А), (28.9.9)
04в = 0 (Р = 1, ..., 4) (28.9.10)
эквивалентна исходной системе (28.9.3).
Замечание. Для любого решения g^v этих уравнений R равно нулю, так что G%
и /?ар принимают одно и то же значение (нуль), однако как выражения,
содержащие зависимые переменные g^v и их производные, они отличаются друг
от друга; следовательно, система (28.9.9), (28.9.10) отличается от
системы (28.9.3), но эквивалентна ей. Чтобы доказать это утверждение,
достаточно заметить, что, согласно (28.9.8), если положить Rjk равными
нулю, то
G\=giyRyk = g"Rik, 044= 72g44tf44; (28.9.11)
следовательно, поскольку g44^0, из системы (28.9.10) следует обращение в
нуль всех ДР7, а отсюда в свою очередь вытекает обращение в нуль всех
Gag.
28.9. Задача Коши
281
Если в (28.9.8) подставить выражения (28.9.5)-(28.9.7) для компонент
тензора Риччи, то окажется, что в дифференциальных уравнениях G4(j = 0
нет никаких вторых производных по xi. Следовательно, эти уравнения играют
роль дополнительных условий; в частности, им должны удовлетворять
начальные данные.
Важным свойством тензора Эйнштейна (которое уже обсуждалось в § 28.2)
является его бездивергентность в силу уравнения (27.10.10); иначе говоря,
G 4 ; . = (>. (28.9.12)
Используя это уравнение покажем, что если функции g^v удовлетворяют
дифференциальным уравнениям (28.9.9) при всех х4 из некоторого интервала
[0, Т], а при л;4 = 0 удовлетворяют дополнительному условию (28.9.10), то
они удовлетворяют этому дополнительному условию и при всех л:46[0, 7].
Формула для ковариантного дифференцирования в § 27.5 показывает, что
(28.9.12) можно переписать в виде
dGap/dx^ + 4%6G6,. = 0, (28.9.13)
где коэффициенты Ла7рб зависят только от g^ и их первых производных.
Поскольку функции g^. таковы, что все = уравнения
(28.9.8) и (28.9.11) показывают, что каждую компоненту GJ). (как
функцию от g,iV и их первых производных) можно выразить через G%(y=l,
..., 4). Уравнение (28.9.13) переходит тогда в уравнение
<3G4P/<3;c4 = Bv/' dG^y/dxJ + Cvf C4v,
в котором коэффициенты ДУ/ и С7; зависят только от функций g(lv и их
первых производных. Это система линейных дифференциальных уравнений
относительно G4P (если заданы), в которой производные по времени выражены
в явном виде через производные по пространственным координатам. По
теореме Коши - Ковалевской ее решение единственно; следовательно, если
все четыре G4P равны нулю на (л;4 = 0), то они равны нулю и при всех л:4
> 0, что и требовалось доказать.
Предыдущая << 1 .. 111 112 113 114 115 116 < 117 > 118 119 120 121 122 123 .. 162 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed