Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
конечному значению. Геодезические, для которых имеет место последний
случай, - это лучи | = г cos a, r|=/-slna, а-постоянная, а г > 0.
Указание. Эти упражнения становятся тривиальными, если перейти к новым
переменным х, t, таким, что
Эти координаты можно описать также преобразованием ? + (Г| = (х-|-(У)2,
откуда ясно, что ds2 = dx2-dt2. Преобразование |, г| х, t двузначно,
однако его можно сделать однозначным в любой односвязной части области N
3. Преобразование (28.7.5) х, I -" |, Г| превращает проколотую (х, t)-
плоскость в двулистное накрывающее многообразие многообразия Af.
Рассмотрите другие накрывающие Af многообразия и покажите, что
двулистными являются только те из них, которые имеют геодезически полное
расширение (получаемое возвращением выколотой точки в начале координат
(х, ()-плоскости).
4. Используя аналогичное преобразование и, и в |, г|, задаваемое формулой
| + г'г| = (и+ ги)2, покажите, что многообразие Крускала К, из которого
удалена точка u = v = 0, образует двулистное накрывающее многообразие
многообразия К', определенного в начале данного параграфа. Покажите, что
наиболее общее накрывающее К' многообразие содержит п копий карты I
Шварцшильда и п копий карты II Шварцшильда, где п - положительное целое
число или оо. Покажите, что это двулистное накрытие является
единственным, которое имеет геодезически полное расширение (получаемое
возвращением назад точки u = v = 0). Поскольку проекция К на К' сохраняет
метрику, очевидно, что все инварианты кривизны в К' имеют конечные
пределы при приближении к особой точке ? = г| = 0.
28.8. МНОГООБРАЗИЯ КЕРРА
Осесимметричное решение уравнения поля в пустом про-
странстве было получено Керром [1963]; это решение можно
интерпретировать, по крайней мере, во внешней области, как решение для
поля вокруг вращающейся звезды. Эта метрика асимптотически минковская на
больших расстояниях г, как и в решении Шварцшильда. На больших, но все-
таки конечных расстояниях метрика содержит член, представляющий
ньютоновский потенциал
ds2 = [Б (d?2-d,f) + 2ri d\ dTil/^+rf)
(28.7.4)
на области координатного пространства N = NM:
l = x2-t2, r\ - 2xt.
(28.7.5)
276
Гл. 28. Расширение многообразий Эйнштейна
-GM/r, как и в решении Шварцшильда (М - масса звезды), а также член а/r2
с угловым сомножителем (а - момент импульса звезды). [Замечание. Это
чисто релятивистский эффект, он возникает вследствие наличия плотности
импульса pv материи в определенных компонентах тензора энергии-импульса
правой
части уравнения (28.2.6). Классическое уравнение Пуассона таких эффектов
не порождает; согласно классической теории, вращение воздействует на
гравитационное поле косвенно за счет сплющенности вращающейся звезды,
однако это воздействие изменяется как 1/г3.] Сейчас мы рассмотрим это
решение, не выясняя его происхождение и не обосновывая его.
Для описания многообразия Керра используются координаты /, х, у, г.
(Предупреждаем читателя, что здесь, как и в других аналогичных случаях,
эти координаты произвольны и, скажем, х, у и г не следует
интерпретировать как декартовы координаты, а t- как время.) Выберем такие
единицы измерения, чтобы 2М, G и с были равны 1 (в этом случае единицей
длины служит радиус Шварцшильда 2MG/c2): тогда метрическая форма имеет
вид
ds2 = dx2 + dy2 + dz2 + --4_f 2 о (ku dx^-dt*, (28.8.1) где p -f-u
z
klldx"=j dz ^-~z(xdx + ydy) + -~^ (xdy-ydx)-dt (28.8.2)
и p - p (Xj у, г)-функция, неявно определенная уравнением
(х2 + у2)/(р2 + а2) + г2/р2 = 1. (28.8.3)
Ось вращения совпадает с осью г; а-постоянная, равная удвоенному
отношению момента импульса к массе (в принятых единицах измерения). Для
быстро вращающихся звезд а^>1, а для медленно вращающихся звезд а может
быть величиной порядка 1 или даже меньше.
Этому решению могут соответствовать различные карты. Окружность х2-\- у2
= а2, г = 0 является особой: на ней Дар7в^"р?6-" 00 • Она соответствует
сингулярности при г = 0 в решении Крускала, и действительно эта
окружность стягивается к началу координат при а -> 0.
Уравнение (28.8.3) имеет два корня р(лг, у, г) противоположу ного знака в
каждой точке х, у, г, за исключением круга л:2 -)-+ г/2< а2, г = 0, где р
= 0. При прохождении точки х, у, г через этот круг необходимо перейти от
одного решения к другому так, чтобы сохранить непрерывность производных
от guv. Это достигается введением следующих карт Мг, ..., М4. На каждой
из них ds2 выражается формулой (28.8.1), но в каждом случае знак р(х, у,
г) определяется особо.
Для N = \все х, у, г, /} - {х2 + г/2 О а2, г = 0},
р (лг, у, г) > 0. (28.8.4)
28.8. Многообразия Керра
277
Выражение для N означает, что /V совпадает со всем пространством (R4, из
которого исключен замкнутый центральный круг. По аналогии с теорией
функций этот круг называется разрезом 4).
Для Af2 N то же, что для Afj, р(х, у, г) < 0. (28.8.5)
Две следующие карты связывают Afj и М2 через вырезанный круг.
Координатная область N для них могла бы быть любой односвязной областью,
