Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рихтмайер Р. -> "Принципы современной математической физики" -> 113

Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.

Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики — М.: Мир, 1984. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): principisovremennoymatematfiziki1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 107 108 109 110 111 112 < 113 > 114 115 116 117 118 119 .. 162 >> Следующая

следовательно, область изменения г, 0, ф, t' та же, что и у г, 0, ф, i.
Получающаяся карта покрывает ту же область пространства-времени, что
карта I Шварцшильда, но только с другими координатами. При этом, однако,
в (28.4.2) отсутствует сингулярность при г=1; следовательно, допустив
уменьшение г до OO^l, эту карту можно расширить до карты I Финкельштейна,
которая определяется формулой (28.4.2) на области
Np, 1: 0 < г < оо,
О < 0 < л, -л < ф < л, -оо < V < оо.
Эта карта покрывает большую область пространства-времени, чем
шварцшильдовская карта I, как схематически показано на рис. 28.1.
Карта I Финкельштейна
- _____
Рис. 28.1.
При помощи другого преобразования
t" = V - In (1 - г), (28.4.3)
примененного к заштрихованной части карты Финкельштейна (где 0<r< 1),
получается карта II Шварцшильда (в переменных г, 0, ф, t")\
следовательно, карта Финкельштейна содержит по одной копии каждой из карт
I и II Шварцшильда. Однако это не
270
Г л. 28. Расширение многообразий Эйнштейна
просто процедура исключения барьера r = 1 в метрике (28.3.9); чтобы
убедиться в этом, рассмотрим пространства с координатами t, г и ?', г
(координаты 0 и ср фиксируются), представленные на рис 28.2. Когда прямая
<6' в карте Финкельштейна идет вниз к /•=!, соответствующая кривая *6 в
карте Шварцшильда
Рис. 28.2. Слева - карта I Шварцшильда, справа - карта I Финкельштейна.
('в и представляют одну и ту же кривую в пространстве-времени) уходит к t
= -f- оо и, следовательно, не может быть продолжена далее, тогда как
исходную кривую <6' можно продолжить до л = 0.
Более того, вместо (28.4.1) можно использовать другое преобразование
t'" = t - 1п(г- 1),
которое в применении к метрике Шварцшильда дает (28.4.2), только вместо
члена -f(2/r)dt'dr получается -(2/r)dt"'dr.
Карта I Финкельштейна
Рис. 28.3.
Такая карта (где 0<г<оо) называется картой II Финкельштейна. В этом
случае кривая, соответствующая кривой 'в на рис. 28.2, уходит к 1=.- оо,
а не к = + оо, следовательно, это расширение карты I Шварцшильда дает еще
одну область пространства-времени, как символически изображено на рис.
28.3. Можно получить бесконечное число дальнейших расширений путем
28.5. Расширение Кру скала
271
последовательного поочередного использования преобразований вида t -> t ±
In (г- 1) и t -*• t ± In (1 -г) на интервалах (1, оо) и (0, 1) переменной
г. Всюду на многообразиях, описанных таким образом, уравнение поля
Эйнштейна сводится к уравнению вида R^ = 0, а их сигнатура равна 2.
28.5. РАСШИРЕНИЕ КРУСКАЛА
На карте I Шварцшильда с метрикой (28.3.9) М. Крускал [1960] ввел
следующие новые координаты и, 0, <p, vx
u = Vг - 1 er/2 ch (t/2),
0, ф без изменений, (28.5.1)
v = y г- 1 er/2 sh (t/2),
в которых метрическая квадратичная форма принимает вид
ds2 = f(u, v)2(du2-dv2) + r(u, vf (dd2 -f sin2 0 dq>2), (28.5.2)
где / и г - некоторые функции, причем г определяется как поло-
жительное решение уравнения
[г (и, v)-\]ег1и а' = "- - v2, (28.5.3)
а / задается формулой
/(и, ц)2 = [4/г (и, ц)]гм"'!,). (28.5.4)
Карта I Шварцшильда соответствует следующим интервалам изменения
переменных: и > 0, - и<ц<и (0 и ф меняются в обычных пределах), т. е.
соответствует заштрихованному на рис. 28.4 квадранту, обозначенному
цифрой I. При этом, однако, метрическая форма (28.5.2) оказывается
решением уравнения R^ = 0, не сингулярна и имеет сигнатуру 2 всюду в
более широкой области
Nut -оо < и < оо, 0, ф-как обычно, к ' (28.5.5)
- V 1 + и2 < V < V 1 + и2,
которая соответствует всей области между сплошными кривыми на рис. 28.4,
состоящей из областей, обозначенных /, /', II и //', Каждая из областей /
и Г - это копии карты 1 Шварцшильда, а области // и //' - копии карты II
Шварцшильда. Любые две смежные области (из этих четырех) составляют одну
из карт Финкельштейна, а начало координат (u=v-0) - это некоторая точка
пространства-времени, которую ни одна из этих карт не покрывает.
272
Гл. 28. Расширение многообразий Эйнштейна
Крускал показал, что многообразие К, порождаемое метрикой
(28.5.2) и областью изменения (28.5.5) переменных и, v и называемое
многообразием Крускала, является максимальным расширением карт
Шварцшильда в смысле определения, которое будет приведено ниже.
28.6. МАКСИМАЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ.
ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ ПОЛНОТА
Отличительной чертой многообразия Крускала К является следующее его
свойство: геодезическая #, идущая из любой точки х^(0) в начальном
направлении, задаваемом любым касательным вектором хд(0), либо может
продолжаться в многообразии до сколь угодно больших значений натурального
параметра X, либо при некотором конечном значении X столкнется с
неустранимой особенностью1). Любое многообразие с таким свойством будет
называться геодезически полным (некоторые авторы используют этот термин
несколько в ином смысле; см. Эллис [1972]).
1) У автора genuine singularity. - Прим. перев.
Рис. 28.4. Диаграмма многообразия Крускала.
28.7. Другие расширения многообразий Шварцшильда
Предыдущая << 1 .. 107 108 109 110 111 112 < 113 > 114 115 116 117 118 119 .. 162 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed