Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
плоским (пространством Минковского) во всех точках вне Солнца, т. е. для
г > Rq (а также, как оказывается, для всех точек внутри него), а
гравитационное поле почти совпадает с кулоновским полем. И действительно,
как несомненно понимает читатель, контрольные наблюдения проявлений общей
теории относительности требуют измерений чрезвычайно малых эффектов.
В данной главе рассматривается главным образом одна математическая задача
общей теории относительности, а именно задача нахождения максимальных
расширений вакуумных решений (подобных внешнему решению Шварцшильда или
решению Керра для поля вокруг вращающейся массы) на другие пустые области
пространства-времени. Астрономическая интерпретация этих решений в
терминах "черных дыр в пространстве" или космологических моделей здесь не
обсуждается.
С этого момента будут использоваться такие единицы длины и времени, что
г0=с= 1; вместо х4 будем писать t. Тогда шварц-шильдовский линейный
элемент имеет вид
ds2 = (1 - 1 /г)-1 dr2-)- г2 (d02 + sin2 0 dtp2) - (1 - 1 /г) dt'.
(28.3.9)
Можно построить три координатные карты, использующие эту метрику. Пока
что каждую из этих карт мы будем рассматривать как отдельное многообразие
Эйнштейна. Для определения карты необходимо задать только область N в
координатном пространстве К4, в которой изменяются г, 0, ф и t. Очевидно,
что поскольку сингулярности необходимо исключить, то имеются
три возможности:
М.: 1 < г < оо,
0 < 0 < я, - - я < Ф < я, -оо < t < оо;
Nn. 0 < л < 1
(0, ф, t - те же, что в л\);
Nm- - оо < г < 0
(0, ф, t-те же, что в М,).
268
Гл. 28. Расширение многообразий Эйнштейна
Получающиеся карты мы будем называть картами (Шварцшильда) I, II и III
соответственно.
Если заменить г на -г, то обнаруживается, что карта III- это просто
решение вокруг отрицательной точечной массы. Она является многообразием
Эйнштейна, согласно принятому здесь определению, причем даже геодезически
полным в смысле § 28.6. Конечно, само по себе это решение неинтересно,
поскольку отрицательных масс, по-видимому, не существует. Однако в § 28.8
мы убедимся в том, что на части многообразия Керра, которое представляет
поле вокруг вращающейся массы, может быть задана метрика, весьма похожая
на метрику карты III.
Отметим между прочим следующие моменты, касающиеся зависимости от
времени. В 1923 г. Г. Д. Биркгоф показал, что метрика карты I получается
даже при отбрасывании предположения о стационарности. Иначе говоря,
метрика карты I является единственной сферически симметрической метрикой,
асимптотически плоской на бесконечных расстояниях. Этот результат
получается примерно следующим образом. Если функции аир (см. выше)
зависят не только от г, но и от t, то возникает более сложное общее
решение. Однако это решение можно всегда преобразовать в стационарное
решение (28.3.9) путем только преобразования координат. Отсюда следует,
например, что гравитационное поле вокруг радиально пульсирующей звезды
стационарно. Если говорить на языке теории электромагнетизма,
монопольного излучения гравитационных волн нет, как нет и их дипольного
излучения, потому что нет отрицательных масс; однако квадрупольное
гравитационное излучение возможно, и, как полагают, оно служит
единственной причиной потери энергии пульсарами. Наконец, отметим, что
метрика карты II не стационарна в смысле определения, данного в начале
этого параграфа (временноподобной переменной здесь служит г, а не t).
Определение сферической симметрии, принятое выше, нуждается в пояснении.
Если Р-произвольная точка многообразия М3 (х4 фиксировано), a S (Р)-
множество всех точек, в которые Р переходит путем преобразований из
группы G, то S (Р) является поверхностью г = const двумерной и
сферической (двумерной сферой) в самом обычном смысле. В общем сферически
симметричном, многообразии этого может и не быть. Пусть М-многообразие
группы 50(3), a G-группа левых трансляций ф (h): g-> hg (yg) в М. Тогда
отображение h->ф (h) оказывается изоморфизмом S0(3) на G. Однако если Р-
произвольная точка из М, то множество S (Р) всех точек, в которые Р
переносится преобразованиями из G, не двумерно: оно совпадает со всем М
и, следовательно, трехмерно. Карта I Шварцшильда является асимптотически
плоской на бесконечных расстояниях, а это накладывает, очевидно,
дополнительное ограничение на действие группы G на
28.4. Расширения Финкельштейна карт Шварцшильда 269
это многообразие, поэтому все инвариантные множества двумерны.
Многообразие группы SO (3) компактно, и поэтому к нему не применимы
никакие подобные ограничения.
28.4. РАСШИРЕНИЯ ФИНКЕЛЬШТЕЙНА КАРТ ШВАРЦШИЛЬДА
На карте I Шварцшильда Д. Финкельштейн [1958] ввел новые координаты
i' = i + ln(r-1), г, 0, ф без изменений, (28.4.1) в которых метрическая
форма (28.3.9) принимает вид ds2 = (1 + \/r)dr2 + r2 (d02 + sin2 0 dq>2)-
(1 - 1/r) di'2 -f- (2/r) dt' dr.
(28.4.2)
При 1 и при изменении i от -oo до +оо i' также изменяется от -со до +оо;
