Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
установить положительное направление времени (и отличать прошлое от
будущего) и ввести правила ориентации х) (и отличать левые и правые
системы координат или винты и спирали). Односвязное многообразие
ориентируемо по Лоренцу; следовательно, любое многообразие Эйнштейна М
имеет некоторое накрывающее ориентируемое по Лоренцу многообразие М'
(например, его универсальное накрывающее многообразие). Поскольку М и М'
локально неразличимы, в общей теории относительности нет необходимости
рассматривать пространственно-временные модели, не ориентируемые по
Лоренцу. (Этим наблюдением поделился с автором Липман Берс во время
беседы за чашкой чая в Институте Куранта.)
Аффинно связное многообразие ориентируемо, если аффинное преобразование
геодезических координат около некоторой точки, полученное путем
параллельного переноса векторов вдоль замкнутой кривой, определяется
матрицей с положительным детерминантом для всех таких кривых и всех точек
многообразия.
27.9. ТЕНЗОР РИМАНА В ОБЩЕМ ВИДЕ.
ЛАПЛАСИАН И ДАЛАМБЕРТИАН
Пусть М - аффинно связное многообразие. Как было указано в § 27.5,
результат двукратного ковариантного дифференцирования векторного поля в
общем случае не симметричен по соответствующим индексам. Непосредственные
вычисления с использованием формул из указанного параграфа показывают,
что
vp к-. i-vh и k = R)klvit (27.9.1)
х) Вроде правила левой руки, правила правой руки, правила буравчика и т.
п. В оригинале использовано жаргонное слово chirality, не имеющее аналога
в русском языке.- Прим. перев.
27.9. Тензор Римана в общем виде. Лапласиан и даламбертиан
247
где R\kt обозначает величину
(27.9.2)
Так как vt произвольно, то правило частного, примененное к (27.9.1),
показывает, что п4 величин Щы являются компонентами тензора четвертого
ранга, называемого тензором Римана или тензором кривизны Римана.
В евклидовом пространстве тензор Римана тождественно равен нулю в любой
системе координат, поскольку очевидно, что он равен нулю в декартовой
системе координат, а если все компоненты тензора равны нулю в одной
системе координат, то они равны нулю и в любой другой. В § 27.12 будет
показано, что обращение в нуль тензора Римана также и достаточно для
того, чтобы риманово многообразие оказалось евклидовым, псевдориманово
многообразие - пространством Минковского, а аффинно связное многообразие
- плоским. В каждом случае это утверждение непосредственно связано с
метрикой, однако, если многообразие односвязно, его можно расширить до
полного евклидова пространства, пространства Минковского или плоского
пространства.
В частном случае риманова или псевдориманова многообразия, где существует
метрика, а индексы можно поднимать и опускать, тензор Римана допускает
другое представление; см. следующий параграф.
Если R\kl свернуть по первому и четвертому индексам, получится тензор
Риччи
Я/*-Я/ы, (27.9.3)
играющий важную роль в теории относительности.
Остальная часть этого параграфа посвящена лапласиану и да-ламбертиану
(операторам Лапласа и Даламбера). Оператор Лапласа задается в евклидовом
пространстве (в декартовых координатах) в виде
г=д\+д\+ ...+di,
где дк=*д/дхк\ оператор Даламбера задается в пространстве Минковского
специальной теории относительности в виде
?*-af+ai+ai-aj.
Оба оператора можно записать в виде g/kdjdk, где (gih)-диагональный
метрический тензор. В физических теориях эти операторы применяются к
скалярным и векторным полям. Когда они применяются к скалярному полю /,
их обобщение на случай римановых или псевдоримановых многообразий есть
просто gikf.t j. k, но для обобщения их применения к векторному полю
vнеобходимо ввести тензор, обозначаемый через и называемый вторым
248
Гл. 27. Римановы и аффинно связные многообразия
симметрическим расширением (см. Томас [1961]), компоненты которого
задаются в начале Р системы геодезических координат у1, ..., у'1 как
V,-- ы |Р = д*11//ду*ду1 |р, (27.9.4)
где Vj(yl, ..., уп)-компоненты векторного поля v/t выраженные через
геодезические координаты. Согласно приведенному ниже
упражнению 4, в общем случае этот тензор не совпадает с
результатом симметризации второй ковариантной производной V/-. k-1 по
индексам k и I. В соответствии с принципом эквивалентности мы определяем
операторы Лапласа и Даламбера в применении к векторному полю vf как
gktVr.ki, (27.9.5)
а не через вторую ковариантную производную (см., однако, упражнение 3 в
следующем параграфе).
Симметричные расширения более высоких порядков определяются аналогично,
например,
Vj; kim U = d3vf/dxk дх1 дхт |р.
Упражнение
1. Покажите, что если <р - скалярное поле, то
Ф; ft; г = Ф; 1-, k~ Ф; kl, тогда как для ковариантного векторного поля
Vj в общем случае
vr, ft; I 7= Vj. i; ft.
2. Покажите, что в произвольной системе координат второе симметрическое
расширение имеет вид
VH kl = d2v//dxk dxJ - Гыд'°/1дхт -Гу dvmjdxk - Tfk dvm/dxl - vmrfkl,
(27.9.6)
где Г%1 - коэффициенты, заданные в (27.2.10).
3. Покажите, что в начале геодезических координат
