Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рихтмайер Р. -> "Принципы современной математической физики" -> 102

Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.

Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики — М.: Мир, 1984. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): principisovremennoymatematfiziki1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 96 97 98 99 100 101 < 102 > 103 104 105 106 107 108 .. 162 >> Следующая

формула дифференцирования произведения, метрический тензор ведет себя как
константа и абсолютная производная скаляра / является обычной производной
df/dX (т. е. другим скаляром).
В частности, если vl-касательный к Ч вектор, задаваемый равенством
V' (X) = dx?/dX,
то сравнение (27.6.3) с уравнением геодезической (26.12.3) показывает,
что bv'/bX = 0 на Ч тогда и только тогда, когда Ч является геодезической,
а X-натуральный параметр. В этом смысле геодезическую можно трактовать
как кривую, касательный вектор к которой является константой на всем ее
протяжении.
27.7. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС
В § 27.4 уже упоминалась задача о параллельном переносе. Нам нужно для
вектора, заданного в точке Р0 кривой Ч, определить вектор в любой другой
точке кривой так, чтобы его можно было считать полученным из данного
вектора путем параллельного смещения вдоль кривой. Согласно принципу
эквивалентности, если взять любую другую точку Р* кривой и любую систему
геодезических координат в окрестности Ри то компоненты вектора
относительно этой системы координат должны оставаться неизменными при
переходе через точку Pi. Иначе говоря, абсолютная производная вектора
вдоль кривой Ч должна быть равна нулю. Поэтому если ?f,. . ., -
компоненты данного вектора в Р0, то преоб-
разованный вектор в любой точке Р(Х) кривой получается как решение vt
(?i) задачи с начальными данными
bvt (Х)/ЬХ = 0 на Ч, vl(XQ) = li, i=\,...,ti. (27.7.1)
Заметим, что если вектор о, (^) преобразуется при переходе к другой
системе координат хп, ..., х'п, то он снова оказывается реше-
27.8. Ориентируемость
245
нием соответствующей задачи с начальными данными
б^/бХ = 0 на б, Vi(kо) = ?й 1 = 1, •••< п,
где Zi получаются из в соответствии с законом преобразования для вектора
в Р0. Вот почему бу,/бХ оказывается вектором, и если все его компоненты
обращаются в нуль в одной системе координат, то они обращаются в нуль и в
любой другой.
Аналогично определяется параллельный перенос вдоль кривой
контравариантного вектора или вообще любого тензора.
Рассмотрим, в частности, риманово или псевдориманово многообразие.
Поскольку bg/k/b% = 0, то для любых гладких векторнозначных функций v'
(К) и w' (X) на %
d (gJkvtwk)/dl = gjk ((W/bty wk -+- vJbwk/SX).
Поэтому, если vJ (X) и wh (X)-результат параллельного переноса двух
данных векторов вдоль кривой <6, отсюда следует, что величина gjkv/w!'
постоянна на б, т. е. при параллельном переносе в римановом или
псевдоримановом многообразии длины векторов и углы между ними
сохраняются.
27.8. ОРИЕНТИРУЕМОСТЬ
Если 'би и(?1 - кривые, идущие от точки Р к точке Q, то результат
параллельного переноса вдоль бЛ в общем случае отличается от результата
параллельного переноса вдоль бг. Иначе говоря, параллельный перенос вдоль
замкнутой кривой от Р до возвращения в Р в общем случае переводит каждый
вектор в Р в другой вектор в Р. Это преобразование векторов в точке Р в
римановом многообразии оказывается ортогональным, потому что 6ifo
сохраняет все длины и углы. Если для всех замкнутых кривых детерминант
матрицы преобразования равен +1, то многообразие называется
ориентируемым. Это будет, в частности, в случае односвязности
многообразия, потому что для любой замкнутой кривой, непрерывно
стягиваемой в точку, указанное ортогональное преобразование непрерывно
изменяется и переходит в тождественное преобразование, детерминант
.матрицы которого равен 4-1.
Упражнение
Лист Мёбиуса, сделанный из ровного листа бумаги без растягивания, можно
рассматривать как двумерное риманово многообразие, которое может быть
покрыто двумя или более координатными картами, на каждой из которых всюду
gjk = ^jk- Покажите, что это многообразие не ориентируемо.
Замечание. Ориентируемость - это топологическое, а не метрическое
понятие, и его можно ввести для многообразий общего вида, для которых
метрический тензор не определен. Данное выше определение было принято по
той причине, что его можно обобщить
246
Гл. 27. Римановы и аффинно связные многообразия
на случай многообразий Эйнштейна, как это будет сейчас показано, причем в
таком направлении, которое сильно отличается от топологической
ориентируемости.
Если М - псевдориманово многообразие размерности п-4 и сигнатуры s=2 (как
в теории относительности), то преобразование в точке Р, получаемое в
результате параллельного переноса векторов вокруг замкнутой кривой,
начинающейся и кончающейся в Р, является преобразованием Лоренца. В §
19.4 было показано, что полная группа Лоренца имеет 4 компоненты;
следовательно, имеются четыре варианта рассматриваемого преобразования.
Это преобразование (может быть либо собственным преобразованием Лоренца,
либо включать или обращение времени, или инверсию пространства ("обратный
ход по пространству"), или обе последние возможности. Если для всех
замкнутых путей получается собственное преобразование Лоренца, то М
называют ориентируемым по Лоренцу. В этом случае всюду на М можно
Предыдущая << 1 .. 96 97 98 99 100 101 < 102 > 103 104 105 106 107 108 .. 162 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed