Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
g'JVi- i=g!/ (d2f/dx' dxS-Tij df/dxk),
поскольку эта величина является скаляром (т. е. инвариантом) и, очевидно,
равна лапласиану от / в декартовой системе координат.
242
Гл. 27. Римановы и аффинно связные многообразия
Упражнение
1. (а) Покажите, что если v'=v' (х1, хп)-контравариантное векторное
поле, то формула
о1и=доЧдх7 + Tljkvk (27.5.5)
определяет смешанный тензор второго ранга, (б). Покажите, что если Г/у-
ковариантное тензорное поле второго ранга, то формула
Тц. k = dT;jldx*-T'kTh- YlikTn (27.5.6)
определяет ковариантное тензорное поле третьего ранга.
Ковариантная производная тензора общего вида имеет один дополнительный
член (в дополнение к частной производной), как в
(27.5.4), для каждого ковариантного индекса и один
дополнитель-
ный член, как в (27.5.5), для каждого контравариантного индекса.
Ковариантная производная скалярного поля / есть просто его градиент: f-
'k=dfldxh-
Операция ковариантного дифференцирования обеспечивает основу для
инвариантной формулировки теорий поля и вообще для тех физических теорий,
в которых встречаются уравнения с частными производными.
Упражнение
2. Покажите, что эта операция удовлетворяет правилу дифференцирования
произведения. Для начала убедитесь в том, что если Г/у в (27.5.6) равно
У/Шу, то
(viwj).k = vi. kwj+v{Wj. k, (27.5.7)
После этого докажите, что если Г" и S... - произвольные тензоры, то
(r:::o;*=r;;;.fts;;;+r;;s;;;.ft, (27.5.8)
где указанное произведение может быть как внешним, так и произвольным
внутренним произведением, т. е. свернутым произвольное число раз.
Замечание. В старой литературе ковариантное дифференцирование обозначали
часто запятой вместо точки с запятой. Теперь запятой чаще обозначают
обычную частную производную, так что
Vi-,j = VUj - 1>г.
Упражнение
3. Покажите, что в римановом или псевдоримановом многообразии метрический
тензор ведет себя по отношению к ковариантному дифференцированию как
константа, т. е.
= g'7;* = °- в'/;* = 0. (27.5.9)
(Напомним, что в этих многообразиях = {/*}•)
Как следствие этого упражнения получаем, что ковариантное
дифференцирование коммутирует с поднятием и опусканием индексов: если У;
= gijVJ, ТО Vi-k = guVJ-k.
27.6. Абсолютное дифференцирование вдоль кривой
243
Следует заметить, что результат последовательных ковариант-ных
дифференцирований обычно не симметричен по соответствующим индексам:
исключением служит случай плоского
пространства, где в декартовых координатах оба этих выражения сводятся к
d2Vj/dxk дх1. Эта асимметрия-следствие внутренней кривизны пространства и
появляется ниже (в § 27.9) в определении тензора кривизны Римана.
27.6. АБСОЛЮТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВДОЛЬ КРИВОЙ
Пусть ё:Р = Р(Х)- гладкая кривая, произвольным образом параметризованная
и заданная в римановом, или псевдоримановом, или аффинно связном
многообразии, и пусть дано векторное или тензорное поле, определенное по
меньшей мере на ё. Мы хотим определить другой вектор (или тензор) на ё
так, чтобы в каждой точке ё он описывал скорость изменения первого
вектора (или тензора) относительно X, причем в некотором абсолютном
(инвариантном) смысле.
Предположим, что ё лежит в координатной карте {(/, <jp, N} и описывается
уравнением х' =х' (X) = ср' (Р (X))-, предположим также, что V;(X)-
компоненты ковариантного вектора, определенного на ё в той же системе
координат. Определим другой кова-риантный вектор до,- (?0, который
представляет скорость изменения V[(X). Очевидно, мы не можем написать
просто wi(X) = dvi(X)!dX, потому что эти величины преобразуются не по
тензорному закону. Поэтому мы применяем здесь принцип эквивалентности.
Пусть Р0 = Р(Х0)-точка на ё, а у1, ...,уп-геодезические координаты в
окрестности Р0, совпадающие с х' с точностью до первого порядка. Пусть
и,- (X)-компоненты и,- в геодезической системе координат; Vi(X)*=vt(X)
при ^ = ^0, но это равенство обычно не выполняется при ХфХй. Положим
а затем преобразуем это равенство в исходную систему координат; при = мы
получим, что
При X = Я,0 х' и у' совпадают с точностью до первого порядка, а вторые
производные, согласно (27.5.1), равны -Г*;. Иначе говоря,
Поскольку здесь уже нет геодезических координат, это равенство
справедливо в любой точке ё и в любой системе координат. Обычно до,-
обозначают через 6о(/6Х и называют абсолютной про-
wi(X0) = dvi(X)/dX |я=я0,
dvk (к) дх<= . дгх<= dyj(K)
dX Qyi k Qyi Qyj dX
до,- (X) = dVi (X)/dX- vk (X) Гku dxJ' (X)/dX.
244
Гл. 27. Римановы и аффинно связные многообразия
изводной от V{ вдоль Ч, т. е. вдоль кривой Ч\
bv^bX = dvJdX-^kijVk dxfldX. (27.6.1)
Если векторное поле vt задано не только на Ч, но и в некоторой области,
содержащей Ч, то
bvilbX = vi.-ldxJldX. (27.6.2)
Абсолютные производные вдоль Ч от других тензоров определяются
аналогично, как это делалось и для ковариантных производных. Например,
если на Ч задан контравариантный вектор Vе, то
bv'/bX = dv'/dX + T)kvJ dxkldX. (27.6.3)
Для абсолютного дифференцирования, как и для ковариантного, справедлива
