Приливные волны и направленный перенос масс земли - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019126-6
Скачать (прямая ссылка):
В большинстве реальных ситуаций величина смещения | и | << R. Первое слагаемое в (6) описывает вес слоя в случае, если бы потенциал в пределах самого слоя не менялся: gR — это интенсивность объемной силы на подошве слоя, и — высота слоя. Это слагаемое является основным. Второе слагаемое уи2/2 учитывает поправку на изменения потенциала в пределах слоя R < х < R + и. Им можно пренебречь. Третье слагаемое и • (pH + ци) представляет собой дополнительное напряжение, которое появляется на подошве слоя и обеспечивает его ускорение и вязкое сопротивление на границе. Им также можно пренебречь по сравнению с первым слагаемым. В результате вместо (2), (5) приходим к следующему краевому условию
s (R, t) = gR • и. (7)
Соответствующее уравнение имеет вид
(pti + mи)R - gгВм - 2 R2 + s0(t) = 0. (8)
Это уравнение описывает динамику движения материала вдоль одного фиксированного канала. По существу, уравнение не замкнуто, так как последний член в уравнении неизвестен. Он определяется из дополнительного условия, описывающего деформирование всего тела в целом. При вычислении s0(t) уже имеет значение, рассматриваем ли мы плоскую или пространственную постановку задачи, как ориентируем ось вращения тела относительно направления приливных сил и т. д. Поэтому рассмотрим последовательно различные варианты, начиная с самого простого — плоского случая.
§17. Плоская задача
1. Постановка задачи. В плоской модели шару соответствует круг (рис. 17.1). Пусть ось его вращения ортогональна плоскости чертежа. Внешнюю массу, вызывающую прилив, можно разбить на две, расположенные симметрично относительно тела. Это позволяет представлять себе приливные силы как чисто статические, вызванные притяжением указанных двух масс (см. гл. 1).
Итак, у нас есть множество каналов, каждый из которых направлен по своему радиусу. Пусть a — идентификатор конкретного канала. Например, а — угол между осью канала и осью 0х в начальный момент времени t = 0. (По существу, a — лангранжева координата канала.) Пусть J — угол, который составляет ось канала с осью 0х в момент времени t (эйлерова координата).
Подсчитаем теперь интенсивность объемных сил для канала J. Эти силы имеют три составляющие: силу самогравитации (у 1), центробежную (у2) и приливнную (у3): у = у 1 + у2 + у3. Вначале оценим самогравитацию. Уточним смысл плоской деформации. Ниже плоскую деформацию будем понимать в следующем смысле.
Именно гравитационный потенциал будем брать для пространственного и конечного тела — для шара. Но действие потенциала будем рассматривать только на плоское сечение типа, показанного на рис. 17.1. Таким образом, считается, что экваториальная плоскость тела совпадает с плоскостью орбиты и, кроме того, связями экваториального сечения планеты с параллельными ему сечениями можно пренебречь. Это позволяет исследовать деформирование экваториального сечения отдельно, причем в рамках плоской задачи.
Итак, пусть g0 — ускорение свободного падения на поверхности тела r = R (без поправок на центробежную и другие силы). Предположим, что тело однородное. Тогда гравитационное притяжение эле-
g 0
мента среды с координатами (r, J) равно: g 1 = -р~. Для центробеж-
R
ной силы g 2 = рю2, где ю — угловая скорость вращения. Векторы приливной силы, отнесенные к единице объема, обозначим как {r1x, Г2y} (см. рис. 17.1). Как обычно, направления всех стрелок на рисунках соответствуют положительным значениям параметров. Для одной возмущающей массы имеем Г1 = Г, Г2 = -Г, где Г — известная постоянная. Ради общности сохраним в выкладках оба значения Г и Г2.
Уравнение движения материала в канале J имеет вид (8) § 16. В нем фигурирует сила, направленная вдоль оси канала. Проектируя вектор приливной силы на ось, получим
g 3 = r1cos2J + r2sin2J. (1)
Таким образом, интенсивность суммарной силы равна
g = g 1 + g 2 + g 3 = -р R + рю2 + (Г^20 + ^sin2»). (2)
Теперь необходимо найти связь лангранжевой и эйлеровой координат. Проще говоря, необходимо вычислить положение некоторого фиксированного канала а относительно оси 0х, т. е. найти угол J как функцию параметра а и времени t. Пусть ю (t) — средняя скорость вращения тела от момента времени t = 0 до момента t. Тогда
J = a + ю • t. (3)
Здесь мы сталкиваемся с проблемой начальных данных. Для построения замкнутого решения достаточно задать начальные данные: u (a, 0), u (a, 0) и начальную скорость вращения ю (0). Дальнейшую эволюцию всех параметров можно определить уже из решения зада-
чи. Однако такая чисто динамическая постановка излишне усложняет задачу. Действительно, определим из (3) мгновенную скорость вращения
J = W (t) • t + w. (4)
Наличие вязкости приведет к замедлению вращения. (Полное численное исследование динамической задачи больших трудностей не представляет.)
