Приливные волны и направленный перенос масс земли - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019126-6
Скачать (прямая ссылка):
2. Основное уравнение. Перейдем теперь к выкладкам. Рассмотрим вначале динамику вязкой жидкости в одном произвольном канале (рис. 16.2). Предположим, что канал имеет цилиндрическую форму. Пусть S и L — площадь и периметр поперечного сечения канала, r — координата вдоль его оси, s(r), u(r) — среднее по сечению нормальное напряжение и смещение. Как обычно, сжимающие напряжения будем считать отрицательными.
г
г г + dr
----------------->
Предположим, что вязкое трение пропорционально скорости движения жидкости относительно стенок канала. Выделим двумя сечениями r и r + dr элементарный объем. Тогда, пренебрегая силой Карио-лиса, получим следующее уравнение движения:
du d 2 u
s(r + dr)S - s(r)S - m* — Ldr + F(r)Sdr = —~2 pSdr.
Слева стоит сумма всех сил, действующих на элемент. Согласно второму закону Ньютона эти силы вызывают движение элемента с ускорением d2u/dt2. Смысл остальных обозначений очевиден: m* — коэффициент вязкого трения, р — плотность жидкости, F — составляющая объемной силы вдоль оси канала. Предположим, что материал несжимаем и однороден как по плотности, так и по вязкостным свойствам, т. е. р, m* = const. Кроме того, примем, что гравитационный потенциал тела не меняется и соответствует однородному шару радиуса R, т. е. изменения потенциала вследствие изменения формы тела учитывать не будем. Тогда гравитационная сила, действующая на элемент со стороны самого тела, будет пропорциональна координате r. Пропорциональными координате r будут также центробежная и приливные силы, поэтому для объемной силы можно принять, что F = g • r, где коэффициент g от координаты r уже не зависит. Величину g будем называть интенсивностью объемной силы. Конкретный ее вид и зависимость от времени рассмотрим далее. Перепишем теперь уравнение движения в следующем виде:
ds ...
— = р u + m u - g • r, (1)
dr
где m = m* L/ S и точкой обозначена производная по времени.
Вследствие несжимаемости переменная u может зависеть только от времени, поэтому уравнение (1) можно проинтегрировать по r. Результат будет следующим:
g 2
s(r, t) = (рм + mu) r - 2 r + c (t),
где c(t) — «постоянная» интегрирования.
Теперь о начальных и краевых условиях. Будем считать, что в начальный момент времени канал заполнен жидкостью от сечения r = 0 до сечения r = R. Предположим, что поверхность r = R от напряжений свободна: s (R, t) = 0, т. е. влияние атмосферы и океана здесь не учитывается. Начальные смещения и скорости можно выбирать из дополнительных соображений.
Теперь о краевых условиях. В геометрических линейных задачах краевые условия ставятся обычно на недеформированной поверхности, т. е. если мы считаем, что в начальный момент тело представляет собой шар, граница которого от напряжений свободна, то линейная постановка предполагает, что напряжение отсутствует на исходной границе шара, т. е. на сфере, а не на той поверхности, в которую эта сфера перейдет. Рассматриваемая модель позволяет исследовать более точную постановку, а именно, учесть изменение границы. Итак, пусть новая поверхность от напряжений свободна, поэтому
s (R + u) = 0. (2)
Отсюда следует
s(r, t) = -(pu + mu)[(R + u) - r] - 2[(R + u)2 - r2]. (3)
Мы предполагаем рассмотреть множество каналов типа (3). Каналы связаны между собой в точке r = 0, поэтому значение напряжения в центре для всех каналов будет одинаковым: s (0, t) = s 0(t). Положив в равенстве (3) r = 0, придем к следующему уравнению:
(pu + mu)(R + u) - 2(R + u)2 + s0(t) = 0. (4)
Таким образом, мы получили уравнение вынужденных колебаний с вязким сопротивлением и нелинейной восстанавливающей силой. Численно исследование таких колебаний не представляет больших трудностей. Однако основные и более ясные результаты можно получить, если сделать определенные упрощения и получить замкнутое решение.
Разберемся в этом вопросе детальнее. Чисто линейное краевое условие имело бы вид
s(R, t) = 0. (5)
Таким образом, отличие (2) от (5) состоит в учете сил, с которыми слой, заключенный между деформированной и недеформирован-ной поверхностями, действует на первоначальную поверхность r = R. В свою очередь эта сила распадается на ряд составляющих, которые существенно различаются между собой. Рассмотрим их по отдельности. Для этого подсчитаем напряжение, которое возникает в сечении r = R при точной подстановке задачи (2) (напряжение, вызванное ондуляцией):
g2
s (R, t) = gR • u + 2 u - (pu + mu) • u. (6)
Естественно, что это равенство верно как для смещения и > 0, так и для и < 0. Выводы от знака смещения и также не зависят. Удобнее, однако, представлять себе, что и > 0, и говорить о весе слоя между поверхностями r = R и r = R + и при и > 0, а не о дефиците веса при и < 0.
