Приливные волны и направленный перенос масс земли - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019126-6
Скачать (прямая ссылка):
§ 14. Пространственная задача о переносе масс приливными волнами
Выше задача о переносе масс ставилась как плоская. Ее решение приближенно описывало перенос масс в экваториальной плоскости небесного тела. При этом предполагается, что ось вращения тела ортогональна плоскости эклиптики (случай, показанный на рис. 2.4, см. с. 37) . Кроме этого, предполагается, что тело однородно и процесс течения устойчив. Тогда из симметрии следует, что переноса вещества через экваториальное сечение не происходит и в качестве первого приближения можно ограничиться двумерной постановкой.
В работах [11, 36] сделан следующий шаг и рассмотрена та же самая задача в трехмерной постановке. Форма тела выбрана в виде эллипсоида вращения с малым эксцентриситетом е и с осью вращения 0х (см. рис. 2.4). Предполагается, что тело является однородным и линейно вязким. При достаточно малых высотах приливной волны и малой скорости ее движения можно ограничиться ползущим приближением. Используются кватернионное представление общего решения системы и метод малого параметра. В качестве последнего используется параметр 1 = е2/2 << 1. В результате строится поле скоростей {их , Uy , и}.
Для определения поля перемещений материальных частиц необходимо решить задачу Коши относительно системы обыкновенных дифференциальных уравнений:
dx(t)
dt
= Ux (x (t), y(t), z(t)), t > 0;
dy(t) _ dt by
dz (t) dt
= Uy (x(t), y(t), z(t)); = uz (x(t), y(t), z(t));
x(0) = x0, y(0) = y0, z(0) = z0.
На экваториальной плоскости имеем точное равенство uz(x, y, 0) = 0. Результаты численных решений задачи показывают, что все частицы двигаются по замкнутым траекториям на плоскостях, параллельных экваториальной плоскости.
Периоды обращения частиц различны, так что налицо эффект дифференциального вращения (для наблюдателя на поверхности
тела — эффект направленного переноса масс). В полном соответствии с лабораторными экспериментами (см. § 8) наибольший эффект имеет место в экваториальной плоскости. При смещении же к полюсам эффект уменьшается. На рис. 14.1 показаны положения частиц через 1 и 10 об. в экваториальном и двух сечениях тела (спроектированы на экваториальную плоскость; е = 0,5; 1 = 0,125). Первоначально частицы находи-
лись на большой полуоси соответствующего сечения тела. Для Земли средний радиус R = 6371,032 км; пусть h — высота приливной волны;
1 — соответствующий h малый параметр 1 = е2/2; е2 = 1 - d2/b1; а = R + h; b = R — h; и — скорость западного дрейфа. Приведем значения скорости западного дрейфа для разных значений приливной волны
h = 1500 м, 1 = 0,00047, и = 1664 м/год, h = 100 м, 1 = 0,0000314, и = 7,4 м/год, h = 10 м, 1 = 3,14 • 10-6, и = 0,074 м/год, h = 0,5 м, 1 = 1,57 • 10-7, и = 0,2 • 10-3 м/год.
Для дополнительной проверки вычислительного алгоритма была также рассчитана задача в плоской постановке. Результаты совпали с полученными в § 10.
Подведем итог. Расчеты в рамках плоской и пространственной моделей однородного тела (либо тела с переменной по глубине вязкостью) для высоты приливной волны порядка 0,5 м дают нижнюю и весьма малую оценку направленного переноса масс. Увеличение высоты приливной волны приводит к значительному увеличению направленного переноса. Для Земли это обстоятельство имеет только историческое значение. Есть немало данных (см. Введение), которые указывают на то, что в прошлом прилив твердой оболочки Земли составлял порядка километра и этот фактор играл существенную роль во всех процессах формирования современного облика нашей планеты. Если обратиться к полученным выше результатам, то легко заметить, что основные предположения, которые приводят к ничтожно малому переносу масс (для амплитуды волны порядка 0,5 м), — это предположения об однородности небесного тела. Такие решения годятся только для демонстрации эффекта направленного переноса, но не для получения его реальных оценок. В реальных ситуациях тело является неоднородным, и это обстоятельство меняет ситуацию принципиально. Это видно из построенных выше решений для жесткого ядра. Для получения верхней оценки направленного переноса масс достаточно обратиться к расчетам § 12 и формуле (17) § 12. Как отмечалось в § 12, при стремлении диаметра внутреннего ядра L к радиусу Земли (L > b) угловая скорость вращения ядра w стремится к значению Wa. Вычислим значение переноса, которое соответствует данному предельному случаю. Для получения предельной оценки достаточно ограни-
читься плоским экваториальным сечением. Длина кривой, ограничивающей эллипс с осями a = b + h и b, равна
J = 2p • b + ph, (1)
если h/b << 1 и членами высших порядков малости пренебречь. Следовательно, если на контакте оболочки с ядром проскальзывания не будет, то суточный перенос составит ph, т. е. при высоте приливной волны порядка 0,5 м перенос составит порядка 500 м в год. Это теоретически возможный верхний предел переноса.
