Приливные волны и направленный перенос масс земли - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019126-6
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, кинематическая модель также приводит к эффекту направленного переноса. При этом для m << 1 она дает те же количественные результаты, что и динамическая модель.
Естественно теперь посмотреть, что дает кинематическая модель при наличии жесткого ядра (рис. 12.3). Здесь течение происходит между ядром и внешней эллиптической оболочкой. Причиной тече-
(14)
a = 1 + m, b = 1 - m, 0 < m < 1.
(v • n) = 0, |v | = const,
(15)
У А
ния выступает движение внешней оболочки по закону (15). На контакте с ядром выполняются условия прилипания, поэтому оно будет увлекаться во вращение с некоторой угловой скоростью w:
А^а____^ при r = L
ur = 0, = Lw. (16)
Величину w можно определить следующим образом. Фактически ядро находится в свободном со-
стоянии. В стационарном течении оно вращается равномерно. Следовательно, момент сил, действующих на него, равен нулю. Решим кинематические задачи (15), (16) для разных величин w и подсчитаем момент сил. Действительным будет такое значение w, при котором суммарный момент сил отсутствует.
Ниже ограничимся приближенной оценкой. Она основана на следующих соображениях. В целом о течении, изображенном на рис. 12.3, можно сказать, что оно происходит между коаксиальными цилиндрами с переменным зазором. В качестве оценки будем использовать решение для цилиндров с постоянным зазором [265]. Из этого решения видно, что если угловая скорость внешнего цилиндра будет больше, чем внутреннего, то на последний действует положительный момент, если наоборот, то отрицательный. В нашем случае на внешней границе постоянна не угловая, а линейная скорость, поэтому соотношение между угловыми скоростями для точек на одном радиусе будет переменным. Так, угловая скорость точки B — наибольшая, а точки A — наименьшая (Wb = | и|/b, Wa = | и |/а). Ясно, что ядро должно вращаться с некоторой промежуточной скоростью. При этом течение в зазоре B' B стремится увлечь ядро во вращение против часовой стрелки, а в зазоре A'A — затормозить его. Примем, что касательное напряжение в точке A' такое же, как и в случае двух коаксиальных цилиндров, зазор между которыми равен A' A, радиусы L, а и угловые скорости w и Wa. Аналогичное уравнение примем и для точки B'. Предположим, что суммарный момент будет отсутствовать, если моменты от этих двух экстремальных на контуре напряжений компенсируют друг друга. Отсюда легко определяется скорость вращения ядра:
Если значения а и b близки, то w » (Wа + Wb )/2. В другом крайнем случае, когда L ® b, скорость ядра w ® Wb, причем независимо от величин а и Wa. В этом случае механизм переноса переходит в волновой механизм, рассмотренный в [25-135].
В работе [10] дано численное решение задачи (15), (16). Скорость вращения ядра определялась из условия отсутствия момента, действующего на ядро. Полученное решение сравнивалось с (17). Ошибка лежит в пределах 2 %.
(17)
§ 13. Связь приливных деформаций со всюду разрывными отображениями
Рассмотренные выше модели указывают на существование приливного переноса масс. Результат его длительного действия представляет интерес и с математической точки зрения. В последние годы возросла роль математических объектов типа фракталов, всюду
и Л
разрывных отображений и т. д. Приливной механизм дает еще один пример, показывающий, как вполне естественные внешние условия порождают всюду разрывные отображения. Ситуацию можно пояснить на самом простом примере. Пусть дифференциальное вращение создается следующим полем скоростей:
dr dJ
Т = 0, — = 1 - r.
dt dt
Предположим, что в начальный момент половина круга r < 1,
0 < J < p закрашена в белый цвет, другая половина — в черный. Зафиксируем в пространстве радиус J = 0 и будем интересоваться -изменениями его цвета. Эволюцию лучше всего проследить в плоскости r - J. Пусть плоскость закрашена полосами, как показано на рис. 13.1. Соединим точки r = 1, J = 0и r = 0, J = tпрямой. Тогда ее пересечение с белыми и черными полосами даст ответ на вопрос
о раскраске радиуса в момент времени t. Видно, что с увеличением t количество белых и черных участков на радиусе неограниченно увеличивается. При этом любой фиксированный участок монотонно смещается от центра к наружной границе r = 1, а его длина стремится к нулю. Центр окружности r =0 выступает как источник новых участков разного цвета. Для области в форме круга это означает, что обе ее половины преобразуются в две бесконечно длинные и тонкие спирали, которые вложены друг в друга так, что последовательно чередуясь, они целиком заполняют всю область. При этом материальные объемы неограниченно растягиваются и одновременно «складываются». В целом процесс деформирования аналогичен известному «преобразованию пекаря» [266].
