Приливные волны и направленный перенос масс земли - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019126-6
Скачать (прямая ссылка):
Итак, безразмерное поле скоростей характеризуется парамет-х ром 1. Этот параметр определяет конфигурацию внешней границы
и, следовательно, высоту приливной волны. Если высота известна, то можно найти величину 1, а значит, и эффективную вязкость тела.
Ситуация в рамках данной схемы следующая. Пусть задано некоторое тело. В начальный момент на него начинают действовать приливные силы. Как отмечалось, эти силы стремятся растянуть тело в одном направлении и сжать его в ортогональных направлениях. Поэтому если вращения нет (W = 0, 1 = /), то вследствие вязкой реологии тело будет вытягиваться в бесконечно длинную и тонкую иглу (базовое течение). Это связано с тем, что стабилизирующие механизмы типа самогравита-ции и внешних упругих оболочек здесь не учитываются. Единственный стабилизирующий механизм, который учитывается в модели, — это собственное вращение тела. Действует этот механизм следующим образом. Тело в направлении возмущающей массы вытягивается. Затем, вращаясь, оно «подставляет» растяжению новую сторону, которая до этого сжималась, и т. д. В результате устанавливается некоторая стабильная форма. Ее параметры зависят от соотношения эффективной вязкости и скорости вращения. Поскольку скорость известна, то можно определить вязкость.
Сделаем оценку для тела с параметрами Земли. При малых 1 высота прилива равна 1R. Если для последней принять величину
0,5 м, то формула (8) дает значения вязкости порядка 1016 П. Данная оценка не относится к Земле, но только к модели, в которой два важнейших фактора стабилизации формы тела (самогравитация и внешняя упругая оболочка) — исключены.
3. Деформирование с внутренним жестким ядром. Предположим, что в центре тела находится жесткое ядро радиуса L. Для определения базового течения поставим следующую задачу: найти поле скоростей, которое удовлетворяет уравнениям (3), (4), условиям прилипания на границе с ядром (u = 0, u = 0 при r = L) и условиям отсут-
ствия напряжений на внешней границе (srr = 0, srJ = 0 при r = 1). Решение этой задачи с учетом формул (6) можно представить в виде (9). Здесь функции F и G имеют вид:
3 C D F(r) = -Ar - Br + — + -^-, r r
D
G(r) = A + 2Br2 +—4,
(13)
где А
12 L4 + 6L2
6L
-2
D
, B =
6L2 - 4 + 2 L-D
C =
6L6 + 6L2 - 12 D '
2L6 - 4L4 + 6L2 6 4 ^ 2 2
D =--------d------, D = 2(L6 + 4L4 - 6L2 + L- + 4).
Результаты (11), (12) не опирались на конкретный вид функций F(r), G(r), поэтому они имеют место и в случае (13). Основные выводы также сохраняются: течение (9), (13) приводит к эффекту направленного переноса, деформации со временем накапливаются (рис. 12.2, 1 = 0,2; L = 0,4). При L ® 0 формулы (13) переходят в (10).
Перейдем теперь к случаю, когда тело имеет внешнюю упругую оболочку. Оболочка играет роль независимого стабилизирующего фактора: даже при отсутствии вращения форма тела сохраняется неизменной. Рассмотренные выше модели можно назвать динамическими в том смысле, что в них причиной течения выступают массовые силы. При этом граничные условия также имеют силовой характер. Попытки учета внешних оболочек приводят к другому классу моделей, которые можно назвать кинематическими. Эти модели опираются на следующие свойства уравнений Навье — Стокса.
Подставим выражения для напряжений (3) в уравнения (4) и затем исключим давление. В результате получим замкнутую систему относительно скоростей.
Если ротор массовых сил равен нулю (у нас как раз такой случай), то система будет однородной. Это значит, что информация о массовых силах из уравнений исчезает. Предположим теперь, что найдено решение ис-
Рис. 12.2.
r
ходной «динамической задачи», т. е. решены уравнения с массовыми силами и какими-то силовыми условиями на границе. Этому решению соответствуют определенные конфигурации границы и распределение скоростей на ней. Если теперь эту информацию взять за исходную и построить решение однородной системы для скоростей, то, естественно, придем к тому же самому полю скоростей. Подобные кинематические постановки используют новые данные на границе и являются более простыми, чем исходные (см. § 3).
Пусть внешняя оболочка является гибкой и нерастяжимой. Аппроксимируем ее форму эллипсом:
Все параметры заранее известны. На границе должны выполняться два кинематических условия — вектор скорости v направлен по касательной к границе, его величина — постоянна (следствие нерастяжи-мости оболочки):
где n — внешняя нормаль. Решение задачи (14) и (15) при m << 1 рассмотрено в § 10. Это решение обладает интересной особенностью. Оказывается, его первое приближение совпадает с (9), (10). (Это легко показать, положив 1 = m и повернув систему координат на 45°.)
