Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ревуженко А.Ф. -> "Приливные волны и направленный перенос масс земли" -> 47

Приливные волны и направленный перенос масс земли - Ревуженко А.Ф.

Ревуженко А.Ф. Приливные волны и направленный перенос масс земли — Н.: Наука, 2013. — 204 c.
ISBN 978-5-02-019126-6
Скачать (прямая ссылка): prilivmonografiya2013.pdf
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 75 >> Следующая

X = 2prx, Y = -рГу,
где р — плотность, Г = G/MD3 (G — гравитационная постоянная; М — масса, которая вызывает прилив; D — расстояние до ее центра). Примем D = const и, следовательно, Г = const.
Займемся теперь уравнениями Навье — Стокса. Вначале перейдем к безразмерным переменным (отмечены чертой сверху). Обозначим через R масштаб длины: x = Rx, y = Ry. Тогда в качестве масштаба напряжений необходимо взять величину prR2: а xx = pGR2 , p = prR2 p и т. д. Здесь, как обычно, а xx, а yy, а xy —
компоненты напряжений, p — давление. Для определения масштаба скорости необходимо ввести характерное время. Имея в виду использование результата (2), за единицу времени примем W-1. Тогда ы = RWm, и = RWu. Уравнения вязкого течения имеют вид:
ды ди (ды ди ^ ды ди
а „ - -Р + 2m - а yy = -Р + 2m ^ , „.y - Ц ^ j, ~ ^ - 0. (3)
Видно, что для коэффициента вязкости естественен следующий масштаб: m = prR2 W-1 Ц. В дальнейшем безразмерные переменные будем обозначать так же, как и размерные.
Уравнения движения
ds xx + ds xy + 2 0 ds xy + ds yy 0
-----+------+ 2x = 0, ------+------ y = 0, (4)
cx dy dx dy
совместно с (3) образуют замкнутую безразмерную систему относительно скоростей u, и, напряжений sxx, syy, s^ и давления p. Перейдем к задачам.
2. Деформирование без внутреннего ядра. Введем полярные координаты р и J. Луч J = 0 направим вдоль оси 0x. Пусть исходная область имеет форму круга x2 + y2 < 1. Ее граница от напряжений свободна: s rr = 0, s rj = 0. Тогда приливные силы вызывают базовое течение:
8mu =-x2 - 3xy2 + 3x , 8ци = y3 + 3x2y - 3y,
sxx = 1 - x 2 - y2, syy = -0,5sxx, sxy = 0, p = -0,25sxx. (5)
Формула (5) дает точное решение системы (3), (4) и удовлетворяет поставленным краевым условиям.
В безразмерных переменных правила перехода от (1) к (2) сводятся к следующему:
u = f (x,y) - y, и = f (x,y) + x. (6)
Отсюда для решения (5):
dx dy
— =-y + l (-x - 3xy + 3x), — = x + l (y + 3x y - 3y), (7)
где коэффициент 1, выраженный через размерные параметры, имеет вид
рГД 2
1 = in- (8)
Как выглядит течение (7)? Этот вопрос удобно исследовать в полярных координатах. Здесь перенос вещества характеризуется следующим образом:
d = 1F(r)cos2J, ~jJ = 1 + 2G(r)sin2J, (9)
F(r) = r(3 - r2), G(r) = -(3 - 2r2). (10)
Как правило, приливные силы невелики, так что 1 << 1, поэтому можно использовать метод малого параметра. Разложим решение по 1:
r(t, 1) = r0 (t) + 1r1 (t) + l2 r2(t) +... , J(t, 1) = J 0(t) + 1J 1 (t) + l2 J 2(t) + ..•
Сделаем подстановку в (9) и получим цепочку уравнений: dr0 dJ 0 dr1 dJ 1 d = 0 -ЦТ = 1 hi = F(r«>cos2J0, IT = G(r0)sin2J0,
dr2
If = F'(r0)cos2J0r1(t) - 2F(r0)sin2J0J 1(t), (11)
dJ 2
~d~ = G'(r0)sin2J 0 r1(t) + 2G(r0)cos2J 0J 1(t),___
Для наших целей вполне достаточно второго приближения. Пусть начальные условия имеют вид:
r(0, 1) = l, J(0, 1) = 0, r0(0) = l, u0(0) = 0, r1(0) = 0, J 1(0) = 0, r2(0) = 0,
J2(0) = 0, ... , 0 < l < 1,
т. е. рассмотрим перенос материальных частиц, расположенных на луче J = 0. Все уравнения интегрируются и приводят к следующему результату:
r0(t) = l, J0(t) = t, r1(t) = F(l)sin2t/2, J 1(t) = G(l)sin21,
r2(t) = -F (l )G(l )sin21 + F(l )[2G(l) + F '(l )]^-^, (12)
8
т t т sin2t т sin4t
J2(t) = [G'(l)F(l) - 2G2(l)]4 + G2(l) — - [G'(l)F(l) + 2G2(l)]—.
Проследим судьбу двух материальных частиц l = l1, l2. Решение показывает, что эти частицы обращаются вокруг центра по замкнутым траекториям. В пределах одного оборота различие в их полярных углах возрастает на порядок 1 и затем уменьшается до порядка 12 — налицо эффект дифференциального вращения. Главную роль играет первое слагаемое в формуле (12) для J 2(t). Оно пропорционально времени, и поэтому с увеличением числа циклов даже близкие точки l1, l2 будут все больше расходиться. Это означает, что процесс идет с накоплением деформаций.
Под действием приливных сил меняется конфигурация внешней границы. При малых 1 ее форма близка к эллиптической. Оси эллипса составляют с направлением 0x угол 45°. Последнее видно и непосредственно из (9): от угла J = -45° до +45° значение r(t) возрастает, затем до J = 135° убывает и т. д. Таким образом, чисто вязкая модель без учета самогравитации дает сдвиг по фазе между
sin22t
приливными волной и силой в 45°. На рис. 12.1 показаны траектории и положения частиц 0 < l < 1 за один оборот. (Получены численным интегрированием (9) при 1 = 0,1.)
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 75 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed