Приливные волны и направленный перенос масс земли - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019126-6
Скачать (прямая ссылка):
m (r) = exp(a (r - 1)),
2 y2
здесь r = Jx + ~2, b = 0,54 — малая полуось эллипса, a = -1.
Хорошо заметно, что при большом числе циклов срединный участок почти прямолинеен, т. е. вращение внутренней области становится более близким к вращению абсолютно твердого тела.
2. Гипопластическая модель. Задача о приливном деформировании рассматривалась также в рамках гипопластической модели Ко-лимбаса [261-263]. Изначально модель была предназначена для описания упруго-пластических свойств сыпучих сред. Отличительная ее особенность состоит в том, что в рамках одних и тех же определяющих уравнений описываются как активное нагружение, так и разгрузка. Поэтому уравнения являются нелинейными даже относительно приращений напряжений и скоростей деформации. Характер нагружения в рассматриваемой задаче таков, что на границе задано стационарное поле скоростей. Эксперименты показывают, что на первой стадии деформирование неупругих образцов носит неустановившийся характер, а затем переходит в стационарную стадию. Расчеты проводились с учетом данного обстоятельства. Сначала решалась нестационарная задача об аффинном деформировании (на границе эллиптической области задавалось кеплеров-ское распределение скоростей) [28, 34]. Через полтора оборота распределение напряжений и скоростей выходило на стационарный режим. В рассматриваемой задаче данное распределение напряжений выбиралось как начальное. Оно играло роль первого приближения. Далее решалась задача с краевым условием (31) § 4 и определялись неоднородные поля напряжений и скоростей деформаций. Перемещения определялись численным интегрированием поля скоростей. Расчеты показали наличие эффекта направленного переноса масс. Качественно результаты получились такими же, как и для вязкой жидкости. Аналогично проводились расчеты и для жесткого внутреннего ядра. Показано, что ядро вовлекается во вращение окружающей средой, причем дрейф его относительно поверх-
ности тела является западным. Конкретные данные и рисунки приведены в статьях [9, 264].
3. Модель сыпучей среды [3—5]. Данные модели построены на основе гипотез о микродеформировании сыпучей среды. Действительная случайная упаковка частиц заменяется эффективной регулярной. Проводится осреднение, и в результате строится модель с внутренними переменными. Задача о приливном деформировании решается методом малого параметра. Модель адекватно описывает эффект направленного переноса масс. Результаты близки к описанному выше решению для вязких жидкостей.
§12. Динамическая модель
1. Постановка задачи. Выше рассматривалась кинематическая постановка задачи, когда на границе тела задаются скорости, соответствующие движению приливной волны. При этом собственно приливные силы из уравнений исключаются. Рассмотрим теперь «силовую» постановку задачи, когда приливные силы учитываются явно и учитывается также поворот тела относительно направлений действия приливных сил.
Пусть тело находится в естественном состоянии: смещения, скорости и напряжения равны нулю. В начальный момент t = 0 «включаются» приливные силы. С их направлениями свяжем координаты 0xy. Предположим временно, что тело относительно осей 0xy не поворачивается. Будем считать, что в этом случае приливные силы вызовут некоторое течение со скоростями
dx dy
u ~ d ~ f(x,y)• u" d ~ g<x,y)- (1)
Здесь x(t), y(t) — координаты материальной частицы. Течение (1) назовем базовым.
Свяжем с телом систему координат 0xy и «разрешим» вращение. Представим его как дискретную последовательность отдельных положений тела. Пусть в промежутке времени от 0 до At тело неподвижно и под действием массовых сил течет по закону (1). Затем оно скачком поворачивается на угол WD t, где W — некоторая постоянная. (Или лучше считать, что тело остается неподвижным, а скачком на угол — WDt меняется направление массовых сил.) При t е (D t, 2D t) тело опять неподвижно. На прежние деформации накладываются новые, которым соответствует та же скорость (1), и т. д. Осуществляя, как и в § 4, суммирование смещений в 0x'y', затем
переход к пределу Dt ® 0 и координатам 0xy, получим следующий результат:
dx
ы = ~7t= f (x,у) - Wy,
dt (2) dy
u = d = g(x, У) + Wx.
Здесь по-прежнему ы, и — компоненты скорости в координатах 0xy. Таким образом, вращение тела приводит к появлению аддитивной составляющей вектора скорости. Ее роль в переносе материальных частиц весьма существенна. В частном случае, когда базовое течение было однородным, роль поворота рассмотрена в § 4.
Перейдем теперь к конкретным моделям. Предположим, что среда является вязкой, однородной и несжимаемой. Причем вязкость настолько велика, что инерционными силами можно пренебречь. В этом случае уравнения Навье — Стокса аналогичны уравнениям линейно-упругого тела [113], поэтому для решения задач можно использовать методы [253].
При оценке массовых сил ограничимся только приливным потенциалом [143]. Тогда компоненты сил равны
