Приливные волны и направленный перенос масс земли - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019126-6
Скачать (прямая ссылка):
Интересно проследить этот перенос численно. На рис. 10.5 (m = 0,05) изображена траектория движения фиксированной точки при увеличении числа оборотов в указанных координатах (показано также положение границы после целого числа циклов). Увеличение эксцентриситета приведет к тому, что за один оборот точки получают большие остаточные смещения, т. е. траектории все больше отличаются от «почти замкнутых». В своем «глобальном» движении вокруг центра точки за определенное время совершат полный оборот. В общем случае это время не кратно времени совершения одного цикла, поэтому движение точки на следующем витке происходит по траектории, несколько отличной от предыдущей (рис. 10.6, m = 0,2) и т. д.
Таким образом, в системе координат (2) эффект выглядит как направленный перенос масс. Следует отметить, что в указанных координатах (особенно при малых эксцентриситетах эллипса) предложенный способ нагружения можно рассматривать как задание на поверхности тела определенного волнового движения.
§ 11. Неоднородная вязкая жидкость. Сыпучие среды
1. Неоднородная вязкая жидкость. В качестве первого шага по усложнению модели, следуя работе [10], учтем неоднородность распределения вязких свойств (m = m (x, y)). Это связано с тем, что реальные процессы происходят в условиях ярко выраженной слоистости материала, которая присутствует как на глобальном уровне, так и на уровне меньших масштабов.
При достаточно большой вязкости можно пренебречь инерционными силами. При отсутствии массовых сил уравнения движения
Рис. 10.5.
Рис. 10.6.
и уравнения состояния вязкой несжимаемой жидкости в плоском случае имеют вид
да xx да xy да xy да yy du du
—^ + ~JXL = 0, + —yL = 0, — + — = 0,
dx dy dx dy dx dy
ды ди (ды ди^
а ” =-p + 2m &• a>y = -p + 2m a xy = m [yy + &} (1)
Здесь, как обычно, a xx, а yy, а ^ — компоненты тензора напряжений, ы, и — компоненты вектора скорости, p — давление, m — коэффициент вязкости.
После преобразования к безразмерным величинам запишем уравнения (1) в переменных Y - W (функция тока — вихрь):
DW + A1Wx + A2Wy + 2A3Yxy + A4^ - Y^ ) = 0,
DY + W = 0. (2)
Здесь используются общепринятые обозначения производных по х и у, D — оператор Лапласа, функция тока 0 определяется из уравнений:
Yy = ы, Yx = -u, а коэффициенты имеют вид
2m x . 2m y . 2m xy m xx - m yy
A 1 =----, A 2 =----, A 3 =-----, A 1 =---------.
m m m m
Единицами масштаба (эталонными величинами) длин, напряжения и давления, скоростей, вязкости являются соответствующие данной задаче характерные величины. Будем считать, что процесс деформирования осуществляется в эллиптической области, на границе которой вектор скорости направлен по касательной и его величина выбрана в качестве характерной скорости. В качестве характерного линейного размера выберем полуось эллипса, в качестве характерной вязкости — вязкость на границе области.
Не ограничивая общности, можно считать, что на границе заданы следующие условия:
Y„ = -1, Yr = 0. (3)
Здесь Yn, Yr — производные вдоль нормали и касательной к границе. Реальная приливная деформация Земли, как уже отмечалось, весьма мала. Поэтому если в расчетах значительно увеличить приливную деформацию, то увеличится и остаточное смещение, т. е. при численном моделировании остаточное смещение накопится за
меньшее число циклов. Для того чтобы проверить качественное влияние переменной вязкости, в дальнейшем выберем большой эксцентриситет эллипса.
Для получения конечномерного аналога системы (2) используется метод конечных элементов [260], а исследуемая эллиптическая область разбивается на треугольные конечные элементы с линейными функциями формы (рис. 11.1). Картина смешения материальных частиц строится при помощи численного решения дифференциальных уравнений:
dx dy
-=ф,y), -=v (x, y>,
где t — время.
В исследуемом случае задание функции тока и вихря скорости возможно лишь в табличном виде (в точках сетки), поэтому распределение скоростей определится в точках сетки, одно из семейств линий которой совпадает с линиями тока. Построение сетки конечных элементов, обладающей указанным свойством, осуществляется на основе решения задачи на произвольно выбранной сетке, а для аппроксимации линий сетки используются сплайн-функции третьего порядка.
Расчеты производились по предложенной схеме для различных законов изменения вязкости и различных эксцентриситетов эллипса. Как и следовало ожидать, увеличение вязкости материала при приближении к центру приводит к уменьшению скоростей частиц, т. е. к большему запаздыванию. На рис. 11.2 показано положение частиц, первоначально находившихся на большой оси эллипса, при различных циклах нагружения в случае изменения вязкости по закону:
