Приливные волны и направленный перенос масс земли - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019126-6
Скачать (прямая ссылка):
Общая картина деформирования зависит от вязкости жидкости. На рис. 9.9 показана структура, полученная на смеси кварцевого песка и глицерина с водой (1: 1). Ячеистая структура, представленная на рисунке, сформировалась в течение 100 об. Она является устойчивой и при дальнейшем деформировании практически не
Рис. 9.9.
меняется. Ячейки медленно вращаются и взаимодействуют между собой, так что в целом кинематика является достаточно интересной.
Подведем итог. Если в экспериментах, моделирующих приливное деформирование, значительно увеличить высоту приливной волны, то помимо основного эффекта — направленного переноса масс, обнаруживается ряд новых эффектов, обусловленных появлением в теле различных регулярных структур, в том числе структур, связанных с линиями скольжения в виде лемнискаты Бернулли, овалов Кассини (перенос масс вокруг двух неподвижных центров) и т. д.
Глава
Теоретическое направленного
исследование эффекта переноса масс
§10. Однородная вязкая жидкость
В § 4 было показано, что если на границе эллиптической области задать кеплеровское распределение скоростей, то распределение скоростей внутри области будет всегда линейным. Причем этот факт от реологии среды не зависит. Отклонение граничных условий от кеплеровского типа приводит к нелинейности поля скоростей
и, следовательно, к зависимости его от реологии среды. Основные черты нелинейного поля можно проследить на модели ньютоновской вязкой жидкости. Задача сводится к решению стационарных уравнений Навье — Стокса
внутри области x2/(1 + m)2 + y2/(1 - m)2 < 1 при условии, что на границе заданы обе компоненты скорости u = u, и, удовлетворяющие (31) § 4, где и0 = 1. Здесь использованы стандартные обозначения: х, у — декартовы координаты; v — вязкость; р, p — плотность и давление; А — оператор Лапласа. Ограничимся случаем большой вязкости (Re << 1) и малых эксцентриситетов (m << 1). Методом малого параметра система сводится к последовательности бигармонических уравнений относительно членов разложения функции тока. Используя схему [249], получим:
1 dp du du
vAu---------------------------= u + u—,
р dx dx dy
dy ’
(1)
(2)
5 7 165 2 105 2 5 35 6
+ 2 y7 + -J x 2y - — x 2y5 + — x 6y I +
Rem
!б~
+ ^^(x - 2x3 + x5 - 6xy 2 + 5xy 4 + 6x3y 2 ),
3 2 ( 7 7 3 9 5
u = x + m (-3x + 2x ) + m I- 4 x - ^ x + 4 x +
21 2 15 3 2 15 Л 3 (87 57 3 33 5
+Txv - Txy - ~4x J + m \jx - — x - jx + 5 7 165 3 2 165 4 105 3 2 35 6
+ 2 x 7 +— x 3y 2 - — xy 4 - — x 3y 2 + — xy6
0
Rem
!б~
+ ^—(-y + 2y3 - y5 + 6x2y - 5x4y - 6x2y3).
Перенос частиц и характер деформирования материальных объемов определялись численным интегрированием системы обыкновенных дифференциальных уравнений
dx/dt = u(x, y), dy/dt = v(x, e). (3)
Расчеты показали, что все частицы движутся вокруг центра по замкнутым траекториям. Однако периоды обращения на различных траекториях различны. На рис. 10.1, 10.2 показаны траектории и положения частиц, находящиеся вначале на большой полуоси эллипса (а, б при m = 0.1; 0.2). Различие в периодах приводит к тому, что внутренние деформации тела с течением времени неограниченно растут (на рис. 10.3 представлено изменение формы квадратного
элемента из положения 0 в положение 1, 2, 3). Причем эти изменения происходят в условиях, когда внешние деформации малы (порядка m). Например, области, первоначально близкие к полукругу, в процессе деформирования приобретают спиралевидную форму (рис. 10.4; m = 0,1,16 об.). С увеличением числа циклов они все больше закручиваются вокруг центра и в пределе вырождаются в две бесконечно тонкие и длинные спирали, которые вложены друг в друга так, что, последовательно чередуясь, полностью заполняют исходную двумерную область.
Для вязких жидкостей роль малых параметров m и Re в развитии течения различна: параметр m входит в решение (2) без коэффициента Re, а Re фигурирует только в произведении с m. Поэтому роль последнего в формировании «остаточных» смещений на фоне параметров m незначительна. Более того, если перейти к пределу Re ® 0 (v ® f), то кинематика течения по сравнению с Re << 1 практически не изменится даже количественно.
Итак, в системе координат (2) эффект выглядит как дифференциальное вращение материальных элементов вокруг центра. Лабораторные координаты соответствуют точке зрения наблюдателя, который связан с фиксированной точкой границы области. С этих позиций каждая точка границы описывает замкнутую петлю. Для упругого тела отсюда следует, что и все внутренние (см. рис. 7.1) точки также будут описывать замкнутые петли. Если же допустить наличие неупругой реакции, то за полный цикл на границе внутренняя точка опишет почти замкнутую петлю, но к первоначальному положению тем не менее не вернется. С увеличением числа циклов эффект будет накапливаться и точка начнет движение по «глобальной» траектории, параметры которой определяются расстоянием от центра.
