Приливные волны и направленный перенос масс земли - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019126-6
Скачать (прямая ссылка):
j(1) = a11 + ...; j(N1) = Na11 + .... (18)
Равенства показывают, что если а1 ф 0, то проблема малого параметра решается обычной линейной интерполяцией.
Таким образом, если безразмерная амплитуда реальных приливных волн ниже (практически — на несколько порядков), чем в экспериментальной модели, то для перехода от экспериментов к натуре
можно использовать линейную интерполяцию. При этом должны выполняться условия, обеспечивающие структуру типа (18). Не располагая уравнениями деформирования, обосновать правомерность линейной интерполяции невозможно. Отметим только, что для уравнений линейного типа (линейно-упругая среда, линейно-вязкая жидкость) и большого класса нелинейных уравнений возможность представлений (18) сомнений не вызывает (рис. 3.3). Правда, нельзя исключать случаи, когда некоторые эффекты имеют не первый порядок малости, а например, второй. Тогда в разложении (18) а1 = 0, а2 ф 0 и коэффициент перехода меняется с N-1 на N-2.
Более сложной будет ситуация, когда свойства среды обладают определенным порогом, который обозначим через 1*. Классический пример связан с наличием порога пластичности: пластические свойства среды начинают проявляться только при деформациях, больших 1*. В таких случаях мы имеем три масштаба деформаций: первый — деформации небесного тела, которые имеют порядок 1; второй — деформации модели N1 и третий — пороговая деформация 1*. Между ними возможны следующие соотношения:
1 < N1 < 1*,
1* < 1 < N1, (19)
1 < 1* < N1.
В первых двух случаях можно говорить о подобии процессов в модели и натуре. В третьем случае — нет, так как в натурных условиях деформации слишком малы для преодоления порога 1*, а в модели — слишком велики и порог оказывается преодоленным.
Все подобные вопросы должны решаться в каждом конкретном случае отдельно. Отметим еще раз, что экспериментальное моделирование имеет смысл и в тех случаях, когда критерии подобия выдерживаются весьма приближенно или даже не выполняются. В этих случаях полученные результаты могут быть полезными для разработки математической модели процесса. А в математической модели, как уже отмечалось, нет никаких проблем ни с массовыми силами, ни с любыми сколь угодно малыми параметрами.
Далее рассмотрим еще одно упрощение проблемы. Обратимся к рис. 2.4. Здесь возмущающая масса находится в плоскости эквато-
Рис. 3.3.
ра, поэтому Северное и Южное полушария планеты находятся в одинаковых условиях. Из симметрии можно заключить, что перенос масс через экваториальную плоскость будет полностью отсутствовать. (Но, конечно, не всегда. Может оказаться, что симметричное состояние станет неустойчивым. Например, при наличии у планеты жидкого ядра. Однако ясно, что при изучении простейшего — базового — варианта модели эти эффекты вначале можно исключить.)
Таким образом, вследствие симметрии все материальные частицы тела, находящиеся в его экваториальной плоскости, в процессе приливного деформирования будут смещаться, оставаясь все время в той же плоскости. Поэтому вначале рассмотрим процесс деформирования только этого сечения, причем в условиях плоской деформации.
Это означает, что мы пренебрегаем еще рядом факторов. Каких именно? Возьмем в реальном трехмерном теле сечения, параллельные и близкие к экваториальной плоскости. Эти сечения будут иметь размеры меньшие, чем экваториальное сечение и поэтому между ними появляются градиенты смещений и соответствующие касательные напряжения. Переход к плоской деформации означает, что все параллельные сечения мы заменяем на сечения, совпадающие с экваториальным. Следовательно, упомянутые касательные напряжения полностью игнорируются. Можно ожидать, что в действительности указанные напряжения весьма малы и такая замена значительного влияния на картину деформирования не оказывает.
Итак, мы приходим к следующей задаче: необходимо исследовать процесс деформирования плоского тела в условиях, когда на его границе заданы перемещения, соответствующие движению приливных волн. На пути к ее реализации возникают очередные вопросы: какую конфигурацию границы необходимо взять в качестве исходной; какие именно краевые условия задавать на этой границе; каким образом можно реализовать требуемое нагружение.
Все эти вопросы тесно связаны с общей теорией аффинных деформаций сплошной среды. Данная связь представляется интересной как в плане дальнейших теоретических построений, так и для экспериментальной реализации процесса, поскольку для теоретических решений аффинные преобразования дают нетривиальное нулевое приближение (если задачу решать методом малого параметра), а для экспериментальной методики — подсказывают оптимальную конфигурацию внешней границы и вид краевых условий на ней. Кроме того, связь с аффинными преобразованиями позволяет рас-
ширить область приложения полученных результатов на проведение визкозиметрических измерений, создать экспериментальную методику проверки определяющих уравнений сложных сред и др. (см. гл. 5). Поэтому рассмотрим вначале некоторые результаты теории аффинных деформаций.
