Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ревуженко А.Ф. -> "Приливные волны и направленный перенос масс земли" -> 18

Приливные волны и направленный перенос масс земли - Ревуженко А.Ф.

Ревуженко А.Ф. Приливные волны и направленный перенос масс земли — Н.: Наука, 2013. — 204 c.
ISBN 978-5-02-019126-6
Скачать (прямая ссылка): prilivmonografiya2013.pdf
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 75 >> Следующая

+ -----22 +
дх 2 дст2з
+------23 +
дх 2
дх 3 Ss23 дх 3 дст33
дх
3
д(р + П) dv1
дх 1 Г dt ’
д(р + П) dv2
дх 2 Г dt
д(р + П) dv3
дх 3 Г dt
(9)
где, как обычно, d/ dt означает полную производную. Благодаря равенству (8) из системы оказывается возможным исключить одновременно и массовые силы, и гидростатическое давление р. Это можно сделать перекрестным дифференцированием уравнений:
д дх 1 д дх 2
д
дх
1 Ss 22 1 д д
д cr 1
1 b 2
2 д
+-- +-- -- +--
дх 1 2 3 2 дх 1 2
д д д д
Ss 13 . Ss 23 . Ss33 д 1 Ss 22
д
1
2
+-- +-- -- +--
дх 1 2 3 3 дх 1 2
д д д д
СГ Ss 23 Ss33 д Ss '11 д
д 1
2
+- +- ---- +-
дх 1 2 3 3 дх 1 2
д д д д
дст'-i
13
дх 3 .
Ss23 дх 3
дст 13

d
dt
d
дv^
SVi
дх
3
дх 1 дх 2 0
^3 _ 2
д
Удх 2 3
д
Sv3 Sv1 Л
дх 1 дх 3 0
(10)
Из трех уравнений (10) независимыми будут только два. Выделим из (2) девиаторную часть напряжений и подставим в (10) выражения s j через скорости и, возможно, операторы от скоростей и перемещений. В результате получаем замкнутую систему уравнений,
в которую вошли только кинематические переменные и не вошли
никакие данные о массовых силах. При этом не предполагалось, что
массовые силы отсутствуют. Подразумевалось только, что они име-
ют потенциал. Нетрудно заметить, что система представляет собой
не что иное, как вариант известных уравнений Гельмгольца, которые
широко используются в гидродинамике. Коль скоро в уравнениях
фигурируют только кинематические переменные, то естественно рассмотреть для нее и чисто кинематические краевые условия.
Пусть по-прежнему Su(t) — это актуальная конфигурация по-
верхности тела в момент времени t, wi — граничные значения компо-
нент скоростей. Тогда
vi (х 1, х 2, х 3, t) = Wi при (х 1х 2 х 3) G S u (t). (11)
Везде имеется в виду, что краевые условия дополнены необходимыми начальными или некоторыми эквивалентными им условиями.
+
Р
d
+
Р
Вопрос о корректности задачи (11) для систем уравнений (10) и (7) является весьма непростым и зависит от структуры уравнений. Ясно, что в общем случае на функции wi должны быть наложены определенные дополнительные условия. Например, условие несжимаемости среды диктует необходимость выполнения следующего ограничения:
где w, n — векторы скорости и нормами к границе. Как уже отмечалось, здесь проблема корректности кинематической постановки ставится таким образом. Предположим, что мы решаем задачу для исходной системы уравнений (1)-(3), в которой объемные силы фигурируют явно. При этом на границе тела задаются определенные напряжения. (Основной случай, который имеет значение — это свободная от напряжений поверхность.) Из решения указанной задачи определяем граничные скорости wi и именно эти скорости задаем в краевых условиях (11), которые ставим для системы, где массовые силы уже не фигурируют.
Таким образом, в данном случае кинематическое условие на границе является следствием решения исходной силовой задачи. Теперь возникает вопрос, в какой степени полученное кинематическое условие (11) может заменить исходное силовое условие (4). При наличии весьма необременительных предположений такая замена будет вполне корректной. Первое предположение связано с единственностью решения силовой задачи. Предположим, что единственность решения есть. Если краевое условие (4) выделяет единственное решение, то замена его на кинематическое условие (11) также приведет к единственному решению, причем поле скоростей в обоих решениях будет одинаковым.
Конечно, это утверждение нуждается в обсуждении и целом ряде уточнений. Во-первых, если среда обладает памятью и в уравнениях (2) Fj — это действительно функционалы, а не функции, то речь должна идти не просто о смещениях или напряжениях на границе, а об условиях, которые описывают всю историю нагружения тела. Во-вторых, для определенных типов систем уравнений (например, для систем гиперболического типа) краевые условия не могут ставиться на всей замкнутой поверхности, которая ограничивает деформируемое тело. Однако, если смещения (11) получены уже из решения некоторой корректно поставленной задачи, то они, хотя и будут выглядеть переопределенными, но тем не менее автоматически будут удовлетворять всем необходимым требованиям самосогла-сования (типа (12) и другим аналогичным условиям).
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 75 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed