Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рауз Х. -> "Механика жидкости" -> 68

Механика жидкости - Рауз Х.

Рауз Х. Механика жидкости — Москва, 1967. — 392 c.
Скачать (прямая ссылка): mehanikagidkosti1967.djvu
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 72 73 74 .. 132 >> Следующая

Для упрощения обозначим главные напряжения по направлениям х', у' и г'
соответственно символами cri, сг2 и сг3. Возьмем на главных осях три
точки А, В н С (рис. 73), так чтобы нормаль к поверхности ABC, равная 6s,
совпадала с направлением х, и рассмотрим силы, действующие на малый
тетраэдр АВСО в направлении х. Пренебрегая силами инерции как членами
высшего порядка, получим
ахА = (г1 (lx 6s) lx + а2 (/2 6s) /2 -f о3 (l3 6s) 13.
Аналогичные уравнения могут быть получены при рассмотрении сил,
действующих на тетраэдр в направлениях у и г. Деля все эти уравнения на
6s, найдем:
Эти формулы служат для выражения напряжений в некоторой произвольной
прямоугольной системе координат через главные напряжения.
Из уравнений (117) и соотношений между направляющими косинусами следует,
что
а =
[к т~, ~Ь к ~Ь к -) (к и' + к v' + к w')
\ дх dy dz J
a = t\a' + P2b' + 4c'\
b = m\a' -f- m\ b' -|- m\ c'\
с = n\ a' -j- n\ b' n\ c';
(117)
/ = 2 (mx nx a' -f m% щ b' + m3 n3 c')\ g = 2{nx lx a' + "2 к b' + пз к
с'У, h = 2(k fflj a' -f к m2. b' + к тзc')-
Cy = e 1 m2 + a2m| + a3 m|;
az=ain2i+a2nl + a3nl< xyz = xzy = till "1 Д + m2 n2 (T2 -f m3n3 a3; %x =
rxz = ni к °i + n2 к a2 + "з к аз,
Xxy = Xyx ~ к mi ai ~Ь к m202 + ктэ аз-
(118)
a -f b -f с = a + b' + c' = 0,
(119)
192
где 0-местная скорость объемного расширения, равная нулю для несжимаемой
жидкости.
Уравнение (119) совершенно реально, так как скорость расширения не должна
зависеть от выбора координатной системы. Аналогично из уравнений (118)
видно, что
+ - а1 + а2 + 03
Принятое ранее соотношение между главными напряжениями и главными
скоростями деформации теперь доказано.
Если известно, что главные напряжения отличаются от давления р на
величины, являющиеся функциями а', Ь' и с', симметричным образом,
допущение о линейности соотношений позволяет записать их в следующем
виде:
0J = --p-fA (a'+fc'+c'H 2ра'; в2= P-f Я (a'-f &'-|-с')+2цЬ/; °з= -
PJr'^(fil -\-Ь' -\-сг)-\-2рс',
Рис. 73. Тетраэдр, построенный на главных координатных осях
где А и ц - постоянные величины.
Если сложить эти уравнения, учитывая равенство (119), получим
~Ь "Н °з ~Ь Зр = (ЗА -f- 2ц) 0,
откуда заключаем, что при несжимаемой жидкости - р есть среднее значение
из главных напряжений. Таким образом, из уравнений (117), (118) и (119)
получаем:
= - Р у = ~Р
tyz fzy
'•ху
*ух
f А0 4-А0 f А0-
и-/;
=}ih.
f 2pa;
4- 2}ib\ f 2pc;
T yy = Ту
Ml
(120)
)
Это - искомые соотношения между напряжениями и скоростями деформации в
декартовых координатах.
Скорости деформаций в обычных ортогональных координатах даны в
приложении. Запись скоростей деформации в других системах координат имеет
вид:
13-1459
193
в цилиндрических координатах
dw
dz ' du
de
в сферических координатах
R дф R дд (sin¦б'/
" = R J. / М + -!__________________________. Эи .
dR \ R ) R sin д дф
J_. to ,d1/M 7? дд dR \R )'
Соотношения между напряжениями и скоростями деформации остаются в виде
уравнений (120).
52. Физическое представление вязкости. Физическая сущность коэффициента
ц, появляющегося в уравнении (120), может быть выявлена при рассмотрении
движения жидкости между двумя параллельными пластинами, вызванного
перемещением одной из этих пластин в ее плоскости. В этом случае u=U yfb
(как будет показано далее), v = 0 и w = 0 при условии, что Ь есть
смещение пластин, у берется в направлении, перпендикулярном плоскости
пластин, а х берется в том направлении, в каком перемещается пластина со
скоростью U. Из уравнений (120) видно, что нормальные напряжения
изотропны и только касательные напряжения тух и тху, равные оба yU/b, не
исчезают. Таким образом, р является коэффициентом пропорциональности
между касательным напряжением и скоростью деформации сдвига. Этот
коэффициент выражает свойство жидкости, называемое динамической
вязкостью.
В аналогичном случае теплопроводности между двумя горизонтальными
пластинами, нижняя из которых имеет постоянную заданную температуру, а
верхняя - некоторую температуру 0, количество тепла, передаваемого через
жидкость на единицу площади любой горизонтальной плоскости, равно k@/b,
где k - коэффициент теплопроводности. Если речь идет не о температуре, а
о массе, перемещаемой от одной границы к другой, количество массы,
передаваемой через единицу площади в единицу времени, равно k'Cfb, где С
есть разница концентрации у двух границ в процентах по весу, a k' -
коэффициент проводимости массы. Сравнение выражений \iU/b, Ш/b и k'C/b
показывает, что коэффициент ц соответствует k и k' и, следовательно,
может рассматриваться как проводимость количества движения. Если с обоз-
194
начает удельную теплоту (при постоянном объеме или постоянном давлении),
величина a = k/pc имеет размерность [L2 Г-1] и называется тепловой
диффузией. Массовая диффузия может быть представлена величиной a'-k'/p,
которая также имеет размерность [L2T~1]. В таком случае естественно
рассматривать и кинематическую вязкость v = p/p, имеющую ту же
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 72 73 74 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed