Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
вдоль осевой линии может быть проведена твердая граница (линия DA в
плоскости ?) без ущерба для универсальности. Если обозначить граничный
угол че-
(c)
ВАЛ С В о -•••о-о- -о---•
-OQ -] +7 ро -ОО
Рис. 69. Отображение комплексного потенциала
рез р, то внутренний сектор BCD в плоскости (; может быть отображен на
верхнюю полуплоскость t (рис. 69) с помощью преобразований
или
Для потока, изображенного на рис. 68, также может быть вычерчен
логарифмический годограф. В точке А значение Q = = ln(Vj/U) является
положительным действительным количеством. Застойная точка В становится
областью в оо, для которой - р < а < 0. Для точки С значение П является
мнимым и между точками С и D уклон меняется от - р до 0. Часть годографа
между точками D и А опять представляет ось потока. Результирующая фигура
является полубесконечной полосой, которая может быть отображена на
верхнюю полуплоскость, как было показано ранее.
Предыдущие преобразования выражали отношение dwfdz как функцию
комплексной переменной t. Следующий шаг в методе годографа состоит в
отображении плоскости комплексного потенциала w на ту же самую плоскость
t, так что точки линии тока ABCD отображаются на соответствующие точки
плоскости t.
(c)
а ф°иь/г В С
ABCD -со
" о-о-- - 0 1 00 A tf/'Q
185
Таким образом, да также выражается как функция t. Два равенства w = f(t)
и dw/dz = g(t) составляют дифференциальное уравнение для w(z). При
исключении t можно получить dw/dz = F (да), тогда выражение
дает связь, из которой может быть установлен комплексный потенциал.
Иным способом соотношения
выражают да как функцию 2 в параметрическом виде.
Для продолжения анализа двухмерного водовода требуется отобразить контур
ABCDA плоскости да также на действительную ось ABCDA плоскости t. Полоса
ABCDA плоскости да, показанная на рис. 69, может быть отображена на
верхнюю полуплоскость /' преобразованием да = (Ub/2a) In t' (тот же
рисунок), а затем может быть отображена на верхнюю полуплоскость t
линейным преобразованием
Гаким образом, функциональная зависимость между да и dwjdz составляет
50. Приложение к истечению и отклонению струи. Теория струй свободного
очертания может быть применена ко многим практическим задачам механики
жидкости. Для иллюстрации разнообразия ее применения приведем решение
некоторых задач методом годографа.
Коэффициент сжатия я/(я + 2). На рис. 70 показаны границы для двухмерного
истечения через щель в плоской стенке бесконечно большого резервуара и
вспомогательные плоскости Пи t. Преобразование от Q к t несложно: t=-ch
Q. В плоскости t все линии тока начинаются в со и кончаются в начале
координат. Если для удобства математических преобразований ширину сжатой
струи произвольно обозначить я, то расход в плоскости г будет равен я У,-
, а напряжение стока в начале координат плоскости t также составит я У,.
Отсюда получается второе соотношение
dz dt ' dz У dz '
п ii\
186
w =-Vj In t, из которого может быть установлен комплексный потенциал.
Вдоль линии тока ВС значение dq/ds= Vj, но из предыдущего равенства
dq>/ds =- (V}/t)dt/ds, так что dt/ds = -t. Кроме того, поскольку вдоль ВС
Q = ta и dx/ds = cos а, получается
dt l i / • \ dx
- = - t = ch (la) = cos a = -, т. e. ds ds
dx - dt.
Отсюда горизонтальное смещение дх от точки В до точки С равно tc - t.в=1,
так что коэффициент сжатия, который представляет отношение ширины струи к
ширине отверстия, составляет
Рис. 70. Отображение потока, вытекающего из щели
Если требуются дополнительные подробности, такие, как уравнение свободной
поверхности или изменение давления вдоль стенки резервуара, решение может
быть более полным.
Струя, ударяющаяся о бесконечный плоский барьер. Если двухмерная струя
конечной ширины направлена перпендикулярно к очень большой плоской
пластине, отклонение ее происходит симметрично (рис. 71). Отображение
струи ABCDA на плоскость годографа ?= (и - iv)/U дает верхнюю половину
единичной окружности, которая отображается на верхнюю полуплоскость t
преобразованием
Поток в плоскости t эквивалентен потоку от источника напряжением иЬ[я в
начале координат к стокам половинного напряжения в точках /= + 1 и t = -
1. Отсюда комплексный потенциал дается выражением
187
Из предыдущего соотношения между w и ? можно вывести соотношение между z
и ?, т. е. выразить скорость в зависимости от положения.
Дифференцирование w по z дает
откуда получается
_ А
Ь я
К
щ
я
1-S2
¦?2
1
К 1 + ?2/
(c) А и A irj'u (c) (c)
1 J пи I ? *Г С \Е С в А д с
+/ и /и
-I о *1
Рис. 71. Отображение отклонения струи
Таким образом, на плоском барьере, где z = x и t,=u/U, находим
х 2 г., _1 и . , -1 и
- = - th h tg -
b It [ u * u _
Последнее соотношение и уравнение Бернулли позволили построить график
скорости и давления, приведенный на рис. 72.
Этот пример рассматривает один из простейших видов всевозможных
конфигураций струи, которые могут изучаться подобным путем. Струя может
быть наклонной, пластина бесконечно широкой и несимметрично расположенной
