Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
радиуса из точки 4 равно
¦-я^1 - -- (я-си). Кроме того, это вращение увеличивает
arg(z-а\)~а'1ж на си (от -си до 0) и, так как дальнейшего изменения
аргумента при приближении х к а2 по пути С нет, w движется вдоль второй
стороны многоугольника под углом сп до точки А2, где
а.
А2 = 4 + eia [ (z - aj) 71 (а2 - г) 71 X
ai
°-п
X (а3 - г) 71 • • -{ап - z)~~~dz.
Подобным же образом
4 = 4 + е!Маг) ] (z - a,f ^ X
а2
_ "а_ ап
X (г - a2) 71 (сг3 - г) 71 • • • (ап -- z) 5Г dz.
Отсюда видно, что действительная ось отображается на многоугольник.
Ранее было показано, что для таких областей преобразование обладает тремя
степенями свободы. Следовательно, при заданном многоугольнике три и
только три точки из а]; а2, ..., ап могут быть выбраны произвольно.
Остальные точки определяются из условия, что га - 3 отношений сторон п-
угольника должны устанавливать его форму. Для примера приведем отношение
сторон, соответствующих точкам (Лп> 4) и (Ль Л2)
= Д J 4а, _ 2)- +.. (", - гГ ^ *.
где Ах-действительный интеграл, приведенный ранее, - функция аь а2, ...,
ап. Таким образом, га -3 отношений образуют га - 3 уравнений, которые
подтверждают положение, что три и только три из всех точек а могут быть
заданы. Кроме того,
182
когда одна из вершин, например Ап, равна оо, преобразование (115) все же
применимо, если л-ный множитель и нижний предел пренебрежимы. Этот допуск
эквивалентен выбору an = w (Ап) = = со, так как, поскольку ап = л, то ai
+ a2 + .. , + а"_1 = я; отсюда
для больших величин z интеграл приблизительно равен - , и
Z
w(z) имеет логарифмическую особую точку при z= оо . Таким образом, Ап= оо
соответствует а" = оо и отображение других точек действительной оси на
другие вершины многоугольника может быть проделано так же, как и ранее:
Таким же образом можно показать, что отображение внешней области
многоугольника на действительную ось дается выражением
w= f (г -а0~ (2 -aj". ¦-(z -a")ir -. (116)
J (z +1)
°л
Пример 13. Отобразить внутреннюю область полубесконечного прямоугольника
ABCD, показанного на схеме, в верхнюю полуплоскость г.
it
(c)
(c)
й еГЛс l
D Й
-1
*1
(c)
_в г
Внешние углы при точках В и С равны каждый я/2. Следовательно,
преобразование Кристоффеля - Шварца, которое отображает точки Л и В в оо
в плоскости ? и 2 и дает 90°-ные вершины в точках В и С в плоскости ?,
соответствующие z=zp 1, будет иметь вид
_ i_
? = j" (г2 - 1) 2 dz = arc ch г + const,
откуда преобразование в желаемый прямоугольник составляет ?=aarcch г+b.
Чтобы отобразить ?=0, in в 2=1, •-1, должны быть выбраны величины а= 1, 6
= 0 и ветвь многозначной функции arc ch г в полосе 0<т)<2я. Таким
образом, результирующее преобразование составит
? = arc ch г или г = ch g;
О < т] < я.
Интересно заметить, что то же самое отображение может быть выполнено
более элементарными преобразованиями
t - ei ; z -
как показано на схеме.
183
Г. Течение струй свободного очертания.
Метод годографа
49. Теория струй свободного очертания. Задачи об истечении, отклонении
струи и кавитации отличаются свободными границами, положение которых
заранее не известно, но вдоль которых давление (а значит и скорость, если
пренебречь силой тяжести) постоянно. Если твердые границы потоков
образованы прямыми линиями, потоки могут быть подвергнуты анализу пу-
ОС
1 А ос-0
0
Я II
В
nn(Vj/v)
Рис. 6S. Отображение комплексной скорости
тем введения дополнительного понятия годографа. Основы этой теории
заложили в XIX столетии Гельмгольц и Кирхгоф, поэтому она всегда
ассоциируется с их именами. За прошедшее с тех пор время было сделано
много полезных примененией этой теории.
Плоскость годографа - это плоскость, на которую отображается комплексная
скорость. Обычно применяется два типа годографов:
в первом комплексная скорость dwjdz отображается непосредственно
dw
С = - = и - t v, dz
во втором отображается логарифм комплексной скорости
где Vj - скорость вдоль свободной поверхности.
Познакомиться с методом годографа лучше всего на примере. На рис. 68
показано истечение из двухмерного водовода шириной Ь. В точке А скорость
параллельна оси х, и ее величина равна U. Отсюда u=U и v = 0 - координаты
точки А в обычном годографе (центр). Точка В является застойной точкой,
поэтому она попадает в начало координат плоскости ?. Вдоль ВС направление
потока постоянно, а величина скорости увеличивается от О в точке В до Vj
в точке С. Так как отношение u/v остается постоянным, ВС является
радиальной линией в плоскости ? (рис. 68);
184
величины и и -v обе положительны. Вдоль свободной поверхности CD согласно
гипотезе величина скорости V=Vj постоянна, так что измениться может
только направление скорости. Таким образом, CD является дугой радиуса Vy,
точка D представляет отдаленную область справа в плоскости г, где поток
параллелен оси х.
Нижняя половина плоскости 2 может быть представлена подобным же образом
(пунктир на плоскости ?). Однако эта часть диаграммы не нужна, так как
