Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
профиль, верхняя и нижняя поверхности которого встречаются у хвостового
конца под тем же углом 6.
174
Дадим теперь комплексный потенциал потока вокруг профиля Жуковского в
параметрической форме:
х" = и[ре~ы +-^1) + Шп5';
?' = ? -Ед = С - (1
z = E + 1 с '
(c) (c)•л* (c) ч
А р \в Р в р . ь ( Р \в
t V. cJl /0 10 ' V у 4
Рис. 63. Отображение внутренней части стрельчатого свода во внутреннюю
часть окружности
Рис. 64. Отображение внешней части стрельчатого свода во внешнюю
часть окружности
где преобразование ?'(?) переносит С в начало координат. Согласно условию
Кутта
k = 2all sin (а + р)
и подъемная сила из уравнения (НО) составит
L = inpLPasin (а + р). (114)
Сравнение с уравнением (112) показывает, что отношение подъемных сил
профиля и его скелета равно отношению их толщин.
Стрельчатый свод. Внутренняя часть свода, границами которого служат две
равные дуги, пересекающиеся под углом а (рис. 63), может быть отображена
на внутреннюю часть окружности преобразованиями
1 + 2 . ЛЩ - * 1 + ?
или
Подобным же образом внешняя часть свода может быть отображена на внешнюю
часть окружности преобразованиями (рис. 64)
внутреннего и наружно-Рис. 65. Изображение тонкого профиля j.q
отображений ОТ КЛИ-
на до полуплоскости. В первом случае клин лежит в пределах ветви функции
t2 - t\%/a, так что отображение внутренней части клина и правой половины
плоскости /2 единственно, но это преобразование не может быть
использовано для отображения внешней части клина, так как он не лежит на
одной ветви функции. Здесь
используется преобразование t2 - i^~°-, которое отображает правую
половину плоскости t2 внутрь ветви функции, так что отображение снова
единственно.
Поток вокруг свода с комплексной скоростью в бесконечности Vx =Ue~'x
может быть получен подстановкой последнего преобразования в уравнение
(108).
46. Задача Неймана. Линеаризированная теория профиля. Когда форма
профиля задана, определение его характеристик - в общем случае трудная
задача. Однако для тонких профилей очень широко используется приближенное
решение, в котором задача сводится к задаче Неймана для окружности.
Такой профиль показан на рис. 65; его начальный и хвостовой концы
находятся соответственно в точках 2 = -2 и z=+2. Профиль погружен в
поток, набегающий на него со скоростью U под малым углом а. В точке Р
профиля скорость касательна к нему, так что, обозначив уклон профиля
через у'(х), а компоненты скорости по осям л; и у соответственно через
t/cosa + u и Hsina + y, можем написать
п
Важно отметить изменение показателя степени преобразования для
U sin a -f- v , и
- xa-| ,
U cos a + и U
176
если допустить, что компоненты "возмущающей" скорости и и v малы по
сравнению с U. Дальнейшее линеаризирующее приближение заключается в том,
что толщина профиля принимается столь малой, что граничное условие для v
может быть принято соответствующим значению х (при -2<х<2) на самой оси
вместо профиля. Последнее приближение оправдывается уравнением Коши-
Римана 6и = 6у ди/дх, которое указывает, что изменение v от оси до
поверхности профиля - бесконечно малая величина второго порядка.
Линеаризация задачи состоит в отыскании комплексного потенциала
возмущения, который удовлетворяет таким граничным условиям:
- - и[у'ц - а)- на верхней стороне линии сегмента;
- = U (а ¦- у.) - на нижней стороне линии сегмента.
дп ' L'
Нормаль здесь считается положительной при увеличении у на верхней стороне
и уменьшении у на нижней стороне; индексы U и L относятся к верхней и
нижней скоронам профиля.
Введем теперь преобразование z = i+\/rQ, которое отображает линейный
сегмент -2<х<2 на единичную окружность С, где
d-г I о ¦ ¦ ш = 2 I Sin 0 .
Отсюда, используя уравнение (101), получим задачу Неймана с граничными
условиями на С
- = 2U(y' - a) sin 6 = ^(6); 0 < 9 < 2я,
дг
где прибавление у' ненужно при переменном 0.
Комплексный потенциал в плоскости ? может быть записан
как
П-1
(Щ
V ift V=i ^ "
П - 1
Тогда
F (0) = R (= - -L ? " {bne-in0 + Ьпет),
П = 1
177
что представляет собой комплексный вид ряда Фурье. Отсюда
- Г F (&)ein<>
пл J
dQ.
Применение условия Кутта дает
ein"dQ.
п~\ л=1О
Для избежания трудностей в определении сходимости бесконечного ряда
следует сначала рассмотреть функцию (при г>1)
со 2тг 2л
'r,dQ_
- о
л=1 О О
со 2л 2-т:
"(') = -i ' ? | г (в)^- *> = ¦--О | ¦f
1 Г F (в) г sin 0d0 ______2U Г г (у' - a) sin2 848
я J гг + 1 - 2г cos 0 я J г2 + 1 - I
• 2г cos 0
о о
Теперь допустимо принять r= 1, что дает циркуляцию
2л 2т:
k = - - j {у' - a) cos2 -- dQ = 2U ----------------- J t/ cos2 dQ j.
Далее получаем
W_
я
J ("/' - a) eie dQ;
о
2л
/ (Й1<Д!<Х) = - J - a) s'n 6 sin (0 - a) d0,
о
и из уравнений (110) находим подъемную силу и момент
с2 - dQ 2
L = AnpU2 |a - J у' cos5
о
2f.
УИ = -AnplP a - j y' sin0 sin (0-a)
dQ
Так как длина хорды составляет четыре единицы, коэффициенты равняются:
2 Л
°-dQ
CL = 2я jV cos;
* 0
178
а------
я
J у' sin 8 sin (0 - a) dd
