Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
так как хорда (замеренная в плоскости движения) пластины с = 4.
(110)
w = u[te '" + -у-) + ik In ?;
2 = ? -fили ?=-?-(z-fW - 4).
2
w - - it/]/z2 - 4 -f ik In (z + VЯ - 4 ).
Комплексная скорость составляет
L - AnpW sin a и коэффициент подъемной силы
CL =------------------------= 2л sin a,
(111)
12*
171
Приведенное определение подъемной силы базируется на следующей гипотезе
Кутта-Жуковского: на двухмерном крыле устанавливается такая циркуляция,
что скорость у хвостовой кромки будет конечной. Эта очень простая
гипотеза служит основой теории воздухоплавания. Полученные таким образом
значения циркуляции оказываются несколько завышенными из-за пренебрежения
пограничным слоем и следом.
Дуга. Дуга, проходящая через точки z=+2 и z = -2, отображается на круг,
проходящий через точки ?'= + 1 и ?' = - 1,
Рис. 61 Отображение дуги окружности
с помощью преобразования z = t,'+ l/tf, как указано в п. 44. Соотношения
между дугой, равной 4р рад, и кругом показаны на рис. 61.
Круг в плоскости ?' преобразуется затем в окружность радиусом sec р
вокруг начала координат с помощью параллельного переноса ^' = ^+ttgp.
Тогда из уравнения (108) комплексный потенциал потока вокруг дуги при
угле атаки а составит
{ , e*asec2p \
W = U j + Ik In ?;
z = C + *tgp + --^ .
S +1 tg P
Применение условия Кутта-Жуковского и уравнения (110) дает L - 4яр?/а sin
(а + р) sec Р; 1 CL = 2nsin (а + р) sec p. j
Кривизна дуги определяется как отношение максимальной высоты дуги к ее
хорде. Сравнение коэффициентов подъемной силы [уравнения (111) и (112)]
показывает, что влияние кривизны равно Р-
Эллипс. В п. 44 мы видели, что преобразование Жуковского отображает
эллипс на окружность. Если масштаб эллипса подобран так, что его фокусы
имеют координаты z- + 2 и 2 = -2, то большая и малая полуоси его
составят: a'=r+\Jr и b' = r-1 /г,
172
а эксцентриситет e = '2r/(r2 + 1). Эксцентриситет данного эллипса
определяет радиус г окружности, на которую он отображается функцией z =
?+l/?. Подстановка в уравнение (108) дает комплексный потенциал потока
вокруг эллипса при угле атаки а:
и> = и(ы1'+ r~?-\+ik\ nt- г = С + -|-.
\ С / ъ
При а и ft равных.нулю комплексная скорость составляет dw dw dt, цХ? -
г2
dz dt, dz t,2 - 1
тогда величина скорост dw dw 4U2r2 sin2 0
На эллипсе t, = relb , тогда величина скорости V2
dz dz a'2 sin2 0 +i>'2 cos20 Но из уравнений эллипса x = a'cos0 и у = b'
sin 0 получается , du du/dQ b' cos 0
tgY= ~
cos- у
dx dx/dQ a' sin 0
a'2 sin2 0
a'2 sin2 0 + b'2 cos2 0
Отсюда, так как a' + b'-2r, выражение для скорости у эллипса принимает
очень простой вид
V = Ufy l + -~jcosY. (ИЗ)
Этот результат используется для установления максимального значения
скорости и, следовательно, момента начинающейся кавитации у стоек,
сечение передних частей которых имеет форму эллипса.
Для получения присоединенной массы А эллипса из уравнения (99)
комплексный потенциал W\ эллипса, движущегося с единичной скоростью в
положительном направлении оси х в неподвижной жидкости, выводится из
выражения комплексного потенциала w для установившегося движения при a=0,
ft = 0, U = - 1 с приложением комплексного потенциала г для единичного
равномерного потока. Тогда согласно теореме о вычетах
г2 1 - гг
ш = 2 - t, =---------- ;
? ?
wxdz = = _Lj^ = 2m(l -г2).
Отсюда, используя уравнение (99), получим А + Jtpa'ft' = 2яр (г2 - 1).
Но, так как а'Ь' = г2-1 /г2, то
А = яр ------------- j = ярй'1.
173
Таким образом, присоединенная масса зависит только от b и не зависит от
эксцентриситета. Подобным же образом можно показать, что присоединенная
масса при движении эллипса в направлении его меньшей оси составляет
В = пра'\
Профиль Жуковского. Преобразование Жуковского может быть использовано для
получения двухпараметрического семейства сечений несущего крыла принятой
формы. Функция z = t,+ + 1/? отображает окружность С радиусом a = BD с
центром в точке D на несущее крыло Жуковского (рис. 62). Окружность
проходит через точку разветвления при ?=1; вторая точка разветвления
находится внутри окружности. Линия BD пересекает
Рис. 62. Отображение профиля Жуковского
ось ц в точке Р, угол ABD обозначен р. Окружность с центром в точке Р и
радиусом seep отображается на дугу А'Е'В', кривизна которой равна ^-tg р.
Эта дуга называется центральной
линией или скелетом профиля. Толщина профиля зависит от отношения BD :
BP=а cos р. Таким образом, двухпараметрическое семейство форм различной
кривизны и толщины получается изменением р и а. Все члены семейства имеют
заостренную хвостовую часть, так как В' - точка разветвления второго
порядка. Крыло становится симметричным при р = 0.
Заострение на хвостовом конце может быть уничтожено при использовании
преобразования, точки разветвления которого имеют порядок, несколько
отличный от второго, например
2-±
г +2 = /? + 1 \ *
г -2 U- I /
Это преобразование отображает окружность с центром в точке Р на скелет,
состоящий из двух дуг, пересекающихся под углом б, а окружность С - в
