Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
h 5 - i -. .. l - i
t2-1 5-1 ¦ -i-l ( +г) 5-1
или
tz = n-i)-----------.
'5-(i+2")
Объединение последовательных преобразований окончательно дает
(1-0(5-0
г = 2 1п------------.
5-(1 +20
168
В. Потоки с заданными границами
45. Обтекание отдельных препятствий. Наиболее просто задача обтекания
препятствия решается при равномерном в бесконечности потоке. Как
отмечалось в п. 42, решение такой задачи заключается в отыскании функции,
отображающей заданную границу на круг, а затем в подстановке этой функции
в комплексный потенциал для потока, обтекающего круг. Для круга радиусом
а с циркуляцией k это имеет такой вид:
Г = U^' +|г) + ",пС''
или, так как ?' является наиболее общим линейным пре-
образованием круга в самого себя, при котором ?=°о , если ?' = 00.
W = U + "'* In ?;
1 = 1 +щ, (108)
что представляет собой комплексный потенциал потока, обтекающего круг в
плоскости ?. Из этого выражения видно, что угол с осью | является углом
атаки а, так как (dwJdQ* =Ue~ia. Если функция ?(г) отображает внешнюю
область круга единственно на внешнюю часть границы G так, что
бесконечность переходит в бесконечность и (dt,ldz)a, =1, тогда
подстановка Z,(z) в уравнение (108) дает w(z) = W\t,{z)] для потока
вокруг G при угле атаки а, так как
Совершенно замечателен тот факт, что этот поток при любых углах атаки
может быть выведен из одного соотношения - уравнения (108). Это означает,
что при известном уравнении потока в каком-либо одном направлении его
можно непосредственно получить для любого другого направления;
поразителен пример легкости, с которой уравнение потока, обтекающего
перпендикулярную ему пластину, может быть получено из уравнения
обыкновенного случая потока, параллельного пластине. Только после того,
как осознаешь, что такого простого решения нет ни для одного трехмерного
потока, начинаешь понимать силу метода конформного отображения.
При небольшом обобщении уравнение потока, обтекающего препятствие, можно
получить с помощью таких особых точек, как источники, диполи и вихри вне
препятствия, изменяя положение и напряжение этих точек преобразованием,
отображающим контур препятствия на круг. Задача в этом случае сводится
12-1459
169
к получению выражений для потока, обтекающего круг при наличии особых
точек. Это можно осуществить с помощью теоремы Мильне - Томсона,
называемой круговой теоремой.
Если f (2) - комплексный потенциал для потока с особыми точками,
расположенными на расстоянии, превышающем а, от начала координат, то
комплексный потенциал w, созданный теми же особыми точками, в потоке,
обтекающем круг радиусом а, составит
скольку f (2) и f (2) регулярны в одной и той же области, добавка члена f
(a2/z) не создает новых особых точек вне круга и w имеет те же особые
точки, что и f (2). Далее, на окружности a2/z = z, так что действительно
равенство w = f(z)+f(z), и отсюда, раз функция тока ф на окружности равна
нулю, то, следовательно, окружность является линией тока, что завершает
доказательство.
Например, комплексный потенциал для потока вокруг единичного круга в
центре координат, созданный источником напряжением т в точке с
координатами 6 и 0, равен
добавочная постоянная здесь опущена как не имеющая значения. Легко
устанавливаемый результат, заключающийся в том, что отображение источника
в круге состоит из равного источника в обратной точке и стока той же
интенсивности в начале координат, демонстрирует возможности круговой
теоремы.
Подстановка самой общей формы ?(z) [уравнение (103)] в выражение (108)
показывает, что w(z) может быть получена в таком виде:
г
w = 17е~ы z + - -j- - -ф ¦ • ¦ + ik In z.
7
Z Z'
X -j- iY = 2npUke ' 2 ';
M + iN=inp (k2 + 2Ub1e~h),
170
т. е. сила перпендикулярна направлению набегающего потока; по этой
причине она называется подъемной силой. Другой компонент, называемый
лобовым сопротивлением, равен нулю. Указанное выражение представляет
знаменитую формулу Кутта и Жуковского для подъемной силы крыла. Эти
результаты могут быть выражены (на единицу расстояния, перпендикулярного
плоскости движения) в виде
где / обозначает мнимую часть.
Используя свойства элементарных преобразований, можно получить расчет
потока в границах, состоящих из прямых линий, дуг и эллипсов. Для
иллюстрации этой процедуры рассмотрим случаи плоской пластины, дуги,
эллипса, профиля Жуковского и свода.
Плоская пластина. Плоская пластина от 2 =-2 до г =+2 отображается на
единичный круг в плоскости ? по выражению г=? +1/?. Поэтому комплексный
потенциал для потока, обтекающего пластину с углом атаки а, дается парой
уравнений:
В последнем выражении опущен знак минус, так как желательно получить
отображение только на внешнюю часть. При а = л/2 исключение ? приводит к
результату
и становится бесконечной при ?=±1(2= ±2). Этого можно избежать на
хвостовой кромке (2 = 2), выбрав такое значение циркуляции k, что
заключенное в квадратные скобки выражение становится равным нулю при ?=1,
т. е. & = 2t/sina. Подстановка в уравнение (110) дает подъемную силу
