Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
не обязательно являющийся прямой линией, отображается в п кривых,
простирающихся от 0 до оо в плоскости 2 и делящих ее на п конгруэнтных
частей, каж-
П _
дая из которых называется ветвью обратной фукции z=]/w. Однако если
выбрать одну ветвь, то между плоскостями 2 и до будет существовать
единственное соответствие.
162
Как и в случае линейной функции, желательно рассматривать со как обычную
точку плоскости. Так как со отображается наоо, устанавливаем, что w=\/W и
z=\jZ, а поведение гг;(г) в оо определяем как W(Z) при Z = 0. Это дает
равенство W = Zn, показывающее, что 2= со также является точкой
разветвления п-го порядка.
Аналитическую функцию с точкой разветвления п-то порядка в точке z - a
можно выразить в виде w=(z-а)п F(z), где функция F (z) регулярна при z =
a и F (a) =f= 0. Отображение этой функции в малой окрестности точки z - a
хорошо аппроксимируется отображением F (a) (z-а)п, что, очевидно, подобно
показанному на рис. 56.
Рис. 56. Отображение w = z3
Предыдущий метод разреза между точками разветвления может быть применен
для упорядочения и создания непрерывности изменения всех аналитических
многозначных функций. Если w = f(z) является такой функцией, то ее особые
точки и точки, где исчезают производные, должны быть отмечены на
плоскости z и объединены непрерывным рядом линейных непересе-кающихся
отрезков.
В предшествующем рассмотрении равенства w - zn значение п было целым и
положительным. Когда п - целое и отрицательное, точки 2 = 0 и 2= со
меняются местами, но, как уже было сказано, обе они остаются точками
разветвления многозначной функции z=\/w~l,n. При п рациональном и равном
р/й, где р и q - несократимые целые числа, функция может быть записана в
виде w^ - zP - t, что может рассматриваться как отображение разреза в
плоскости t на р ветвей в плоскости 2 и q ветвей в плоскости w. Если п
иррационально, функцию лучше всего представлять в виде \nw = n\nz, так
что ее обработка будет осуществлена после логарифмирования.
11
163
Функция w= z -f- 1/ 2. Никакое рассмотрение конформного отображения не
может быть полным без изучения преобразования Жуковского
, 1
w = гн ,
Z
названного так из-за использования его Жуковским на заре развития теории
воздухоплавания. С помощью этого преобразования можно получить двухмерные
потоки у эллиптических цилиндров, плоских и криволинейных пластин, а
также у обтекаемых профилей с углами атаки, как показано в п. 45. Таким
(c)
@ -" о(c)
-2 в +г
Рис. 57. Отображение барьера w = z+ljz
образом, изучение конформного отображения этой функции имеет громадное
практическое значение и одновременно иллюстрирует свойства рациональной
функции с двумя точками разветвления.
Функция w(z) однозначна и регулярна всюду, кроме z = 0 и 2= оо, где она
имеет полюсы первого порядка. Однако из обычного рассмотрения функции в
оо очевидно, что как w(z), так и обратная ей функция z(w) регулярны в со.
Производная w'(z) = 1 - 1/г2 исчезает приг=±1, когда точки разветвления
функции w = ±2. Обратная функция
z = - (w + ]/о)3- 4),
2 -
как видим, двузначна. Поскольку функция z(w) регулярна в со, она
удовлетворяет разрезу плоскости w отрезком линии между точками
разветвления w=±2. Уравнение этого отрезка может быть записано как m> =
2cos0, что при подстановке в вышеприведенное равенство дает z = e±i0 -
единичный круг. Плоскость 2 таким образом делится на две части:
внутреннюю и внешнюю области единичного круга, причем каждая из них
отображается на всю плоскость w.
Отображение барьера показано на рис. 57. Так как барьер обходится против
часовой стрелки, то единичный круг обходится в том же направлении, когда
на плоскость w отображается его внешняя область, но в обратном
направлении при отображении его внутренней области. При обходе вокруг
точки раз-
164
ветвления аргумент изменяется в плоскости w на 2я, а в плоскости 2 на я,
так как это точка разветвления второго порядка. Если при проходе через
две соседние точки Л и В, расположенные на противоположных сторонах
барьера в плоскости w, путь от Л к В не пересекает барьера, А остается на
ветви функции, проходящей к точке Ви сопряженной с точкой А,, в противном
случае точка В2 в плоскости 2 оказывается на другой ветви функции,
напротив точки А\ внутри единичного круга.
Другими возможными барьерами между точками разветвле-
- ^ /3-2<х
ь' ''ЧГЧ е
V* \ +*7
/а'
Рис. 58. Отображение дуги барьера w = z+l/z
ния являются дуги от w=+2 до w - -2. Их отображение проще всего
исследовать, записав преобразование Жуковского в виде
w - 2 / 2 - 1 \2
w + 2 \ г -(- 1
Теперь, учитывая последовательные преобразования г - 1 г,п "77 w
- 2
Z =
z + 1
W = Z2; W
w + 2
видим, как дуги между ш=+ 2 и w = -2 становятся радиальными линиями в
плоскости w, затем превращаются в делящие площадь линии, проходящие через
начало координат в плоскости г, затем трансформируются в замкнутые
окружности, проходящие через точки 2=1 и z = - 1 в плоскости г. При
