Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рауз Х. -> "Механика жидкости" -> 58

Механика жидкости - Рауз Х.

Рауз Х. Механика жидкости — Москва, 1967. — 392 c.
Скачать (прямая ссылка): mehanikagidkosti1967.djvu
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 132 >> Следующая

плоскость Z.
160
Восьмое свойство доказывается на основании рис. 55, где все окружности б,
проходящие через инверсные точки А и В, ортогональны у, а также на
основании того, что эти окружности преобразуются в окружности 6',
проходящие через точки А' и В' и ортогональные у'. Но, как было показано
выше, инверсность является непосредственным следствием этой
ортогональности. Необходимо отметить, что инверсия точки на прямой линии
является ее зеркальным отражением на этой линии. Поэтому и инверсия точки
в окружности называется ее отражением.
Для доказательства девятого свойства примем, что А - полюс в плоскости г,
а С - полюс в плоскости Z. Тогда все линии в плоскости Z преобразуются в
окружности (или линии), проходящие через А и соответствующие линиям,
проходящим через С. Пара таких линий L\ и L[ и пара перпендикулярных к
ним линий L2 и Ь'2 показаны на рис. 54. Линии, параллельные Ь\,
преобразуются в окружности, касательные к L[ , а линии,
параллельные L2, - в окружности, касательные к L'r Теперь
легко по-
казать, что модель правой части рис. 54 сохраняется параболическим
преобразованием при переходе от плоскости z к плоскости w через плоскость
Z.
В первом из трех преобразований десятого свойства действительная ось
преобразуется сама в себя, так что при действительном 2 действительно и
w. Отсюда должны быть действительными а, Ь, с и d. Если z = i, точка
ai + b bd + ас . . ad - be
ci 4- d c2 + d2 с2 + d2
при принятом условии ad-bc>0 также лежит выше действительной оси. Так как
преобразование зависит только от трех независимых соотношений
действительных чисел а, Ь, с и d, то ясно, что имеются только три степени
свободы. Следовательно, при преобразовании друг в друга двух заданных
окружностей посредством линейной трансформации есть три и только три
степени свободы, что можно показать введением линейной трансформации,
преобразующей каждую из окружностей в действительную ось.
Второе преобразование десятого свойства, очевидно, отображает
действительную ось плоскости z в единичный круг, так как при
действительном 2 числитель и знаменатель являются сопряженными
величинами, а отсюда |пу|=1. Условие возможности отображения внутренней
области круга на верхнюю полуплоскость подтверждается тем, что 2 = -bfa
при ш = 0. Достаточно вспомнить, что это преобразование обладает тремя
степенями свободы, и можно показать, что оно является наиболее общим
линейным преобразованием действительной оси в единичный круг, так как
именно три степени свободы необходимы для отображения линейной
трансформацией трех заданных точек действительной оси в три произвольные
точки единичного круга.
11-1459
161
Чтобы доказать, что третье преобразование десятого свойства отображает
единичный круг в самого себя, примем 22 = 1.
Легко убедиться, что при этом и додо = 1. Далее, так как w = bja " Ь
соответствует 2 = 0, то - лежит внутри единичного круга в пло-
а
скости до и отсюда j й/а | < 1 или |6|<|а|. Уравнение третьего
преобразования также имеет три степени свободы, поэтому подобно
предыдущему случаю можно заключить, что оно дает наиболее общее линейное
преобразование единичного круга в самого себя.
Доказательства одиннадцатого свойства в настоящем труде не приводятся, их
можно найти в более детальных учебниках по комплексным переменным или
конформным отображениям.
Функция w = zn при рациональном п. Положительная степень комплексной
переменной дает наиболее простое преобразование после линейного. Оно
однозначно и имеет единственную производную nzn~l, так что функция эта
всюду аналитическая и регулярная. Производная исчезает лишь при значении
2 = 0, которое называется точкой разветвления п-го порядка. Введение
полярных координат 2 = ге'9 и w = Retf дает Rei,f = rneinB или R = rn и ф
= п0. Таким образом, модель радиальных линий и концентрических
окружностей в полярных координатах сохраняется, но отображение не
конформно в начальной точке, так как соответствующие углы между
радиальными линиями не равны. Действительно, сектор плоскости 2,
ограниченный двумя лучами 0 = 0 и 0 = 2я/я и простирающийся от 0 до °о,
преобразуется во всю плоскость до, так как этим лучам здесь будут
соответствовать ф = 0 и ф = 2я, как показано на рис. 56 для п=3. Таким
образом, w = z2 отображает верхнюю половину плоскости 2 на всю плоскость
до. При увеличении 0 от 2я/я до 4я/я значение ф увеличивается от 2л до
4я, т. е. соседний сектор, ограниченный лучами 0 = 2я/я и 0 = 4я/я, также
отображается на всю плоскость до. Подобным же образом видно, что каждый
из п секторов, ограниченных последовательно лучами 0 =0, 2я/я, 4я/п,...,
2я, отображается на всю плоскость до. Таким образом, за исключением точки
до = 0, любой точке в плоскости до соответствует п различных точек в
плоскости 2, расположенных в углах правильного я-угольника, как показано
на рис. 56.
Для упорядочения этого множества значений можно ввести разрез в плоскости
до, простирающийся от точки разветвления до бесконечности. Этот разрез,
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed