Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
преобразование между комплексными плоскостями да и 2.
2. Результатом ряда последовательных линейных преобразований является
также линейное преобразование.
3. Линейное преобразование трансформирует окружности и прямые одной
плоскости в окружности и прямые другой плоскости.
4. Единственная линейная функция, которая преобразует три различные точки
2Ь z2, z3 плоскости г в три различные точки даь да2 и да3 плоскости да,
следующая:
г- Ч _ г2 -г3 _ w - w1 _ а>2 -w3
г - г3 г2 - гх w -• w3 шг - ац
5. Линейная функция может быть выражена в виде
w - А__^ г - А
w - В г - В
или в виде
w - A z - А
157
в зависимости от того, имеет преобразование две фиксированные точки или
только одну. Если имеется только одна фиксированная точка, преобразование
называется параболическим.
6. Функция Z=(z-A)l(z-В) преобразует радиальные линии и
концентрические окружности полярной системы координат в плоскости Z в
семейство дуг с общей хордой АВ и ортогональное первому семейство
окружностей, для которых точки А и В являются инверсными, в плоскости 2
(рис. 53).
Рис. 53. Конформное отображение 2=(z-Л)/(г-В)
Рис. 54. Конформное отображение 2 = С+1/(г-А)
158
7. Линейная функция при двух фиксированных точках А и В преобразует два
семейства ортогональных окружностей А и В в самих себя.
8. Если линейная функция преобразует точки А, В и окружность у в точки
А', В' и окружность у', а А и В инверсны по отношению к окружности у, то
А' и В' инверсны по отношению к окружности у'.
9. Функция Z = C+l/(z-А) преобразует сетку в прямоугольной системе
координат в плоскости Z в два семейства ортогональных окружностей,
проходящих через точку А в плоскости 2 и имеющих общую касательную (рис.
54). Параболическое линейное преобразование с фиксированной точкой А
трансформирует модель в самое себя.
10. Линейные функции
являются наиболее общими для преобразований соответственно верхней
полуплоскости в самое себя, верхней полуплоскости плоскости г во
внутреннюю область единичного круга в плоскости w и внутренней области
единичного круга в самое себя. Любое из этих преобразований имеет три
степени свободы.
11. Всякое единственное конформное преобразование единичного круга в
самого себя линейно.
Первое из перечисленных свойств уже было рассмотрено и доказано. Обратная
теорема, данная в скобках, не будет доказываться. Второе свойство
подтверждается исключением промежуточных преобразований. Третье свойство
может быть доказано подстановкой в общее уравнение для прямых и
окружностей в плоскости 2
вместо 2 и 2 их выражений как линейных функций от w и w. Тогда
результирующее уравнение для плоскости w будет иметь ту же форму. Для
доказательства четвертого свойства оба члена приведенной формулы
приравниваются Z, причем точки zu г2, 23 плоскости г преобразуются в
точки 0, 1, со плоскости Z и затем в точки шь ш2, w3 плоскости w.
Приравняв члены формулы пятого свойства Z, можно доказать что А и В
фиксированные точки этого преобразования, так как А и В и в плоскости 2 и
в плоскости w соответствуют 0 и со
W
аг + ь,
cz -j- d '
a, b,c, d - действительны, ad - be > 0;
(107)
w =
az -f- b , bz +a
\a\ > |6|
AzzA- Bz + Bz = 0
159
в плоскости Z. Величины Л и В получаются при подстановке г вместо w в
приведенное линейное преобразование и при решении результирующего
квадратного уравнения, принимая сД=0.
Шестое свойство является следствием того, что А и В соответствуют 0 и оо
в плоскости Z, так что радиальные линии плоскости Z преобразуются в дуги,
простирающиеся от А до В. Так как полюс в плоскости Z существует при Z =
1, то линия АВ преобразуется в действительную ось плоскости Z. Далее, из-
за конформности отображения угол в точке А между дугой и АВ равен углу
соответствующей радиальной линии с осью х, и концентри-
Рис. 55. Ортогональность окружностей, проведенных через инверсные точки
ческие окружности рис. 53, ортогональные радиальным линиям, должны
преобразовываться в ортогональное семейство указанных окружностей. Точка
Т пересечения одной окружности семейства у с одной окружностью семейства
б показана на рис. 55. Вследствие их ортогональности ОТ касательна к б,
если О - центр у, и по теореме секансов элементарной геометрии О А X ХОВ
= ОТ2, т. е. А и В - инверсные точки по отношению к у. Другие
геометрические свойства отображения могут быть выведены с помощью
полярных координат Z = Rei<} и биполярных координат г - Л = г1ег9', г - B
= r2eKl. Далее
Тг г2
0 = 01 - 02-
Таким образом, - постоянно для у, а 0 постоянно для б г 2
(см. рис. 55). Линия от Л к оо и затем к В с противоположной стороны
отрезка АВ соответствует 0=0; 0 = я преобразуется в отрезок АВ на самой
линии. Единичный круг R = 1 в плоскости Z преобразуется в
перпендикулярную биссектрису хорды АВ. Эта биссектриса делит плоскость 2
на две части, в одной находится А, в другой - В. Эти части преобразуются
соответственно во внутреннюю и наружную области единичного круга. Седьмое
свойство легко доказать, переходя от плоскости 2 к плоскости w через
