Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рауз Х. -> "Механика жидкости" -> 56

Механика жидкости - Рауз Х.

Рауз Х. Механика жидкости — Москва, 1967. — 392 c.
Скачать (прямая ссылка): mehanikagidkosti1967.djvu
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 132 >> Следующая

первых коэффициентов могут быть выбраны так, чтобы а0 = 2(0)=0 и
a1=(dz/dg)0= 1, как принято в теореме. Обратная функция g(z) также может
быть выражена рядом Тэйлора g = c1z + c222 + .... Тогда
154
Z = С1 (С + й2?2 + "а?3 +•¦•) + С2 (? + а2?2 + • ' ¦ )2 + сз?3 + • • • =
= CiZ + (cia2 ~Ь сг) ?2 + (сх^з + 2с2а2 + сз) S3 + ' ''
Приравнивая коэффициенты и решая равенство относительно сь с2 и с3,
получим Cj = 1; с2 =-"г! с3 = 2а'-а3, как и утверждалось. Вторая часть
теоремы доказывается аналогично.
Для вывода формулы Биебербаха - Фабера необходимо знать соотношение
элементов площади в плоскостях z и ?. Координатные линии | = const и т) =
const преобразуются в систему ортогональных криволинейных координат в
плоскости z. Если dst и dsv обозначают длины элементов дуги в плоскости z
соответственно вдоль кривых g = const и Г) = const, то из уравнения dz =
f'(QdZ, получим:
= If (S)l dl\ dsTi = |f (?)| dr\,
откуда устанавливается соотношение элементов площадей dAz и dAz в
плоскостях ? и z:
dAz=\f' (?)|2Ж4е.
В полярных координатах в плоскости ? площадь, ограниченная контуром G,
составляет
A=jj]m\2rdrdQ.
О о
Но
If (9|a = f (?)/' (0 =
= (1 + 2 а2? + За3?2 + •••)( 1 + 2 а2 ? + Заз ?2 -f- ¦ • -) = = (1 +
2а2геге + За3г2 е2г9 + •¦¦)(! + 2а/<Гге + + За3г2 в + ••¦) = 1 -f- 4а2
а2г2-|- 9а3а3г4 + ••¦-)-
+ 2 тфО,
где пределы в последнем из указанной суммы слагаемом не определяют
площади до тех пор, пока их интегралы, зависящие от 0, все не исчезнут.
Отсюда
1 2ti оэ со
^ = j j 2 r^alflr/'n~l drdQ = п 2 п \ап\г.
О О я=0 я=0
Этот результат был использован Биебербахом как основа для практических
способов отображения области в круг.
155
44. Элементарные преобразования. Цель изучения свойств отображения
некоторых элементарных функций становится ясной при сравнении с
дифференциальным и интегральным исчислением. Для того чтобы научиться
дифференцировать и интегрировать, недостаточно изучить теорию; необходимо
знать, как выполнять эти операции над рядом элементарных функций.
Подобным же образом необходимо знать конформные отображения некоторых
элементарных функций для того, чтобы суметь
управлять более сложными случаями.
Линейные преобразования-Простейшим и основным преобразованием является
так называемая линейная функция
w - . ad - bc=f= О,
сг d
где условие ad-bc=f=Q устраняет тривиальный случай w = = const. Для
частных значений постоянных, входящих в выражение линейной функции,
получается: преобразование подобия при X действительном и положительном;
вращение при |Я,| = 1; w = z -f b - параллельный перенос;
w = инверсия.
Z
Инверсия - очень важное преобразование, существо которого может быть
изучено путем введения полярных координат
1ф 10
w = ре ; г - ге .
Тогда, как показано на рис. 52, где Р есть точка в плоскости z а Р" -
положение соответствующей точки в плоскости w.
Рис. 52. Изображение преобразования 1 /г
W = Kz-
Р =
ф = - 0.
Точки Р и Р' на радиальной линии, проведенной из центра О круга радиусом
R, называются инверсными или отображенными точками по отношению к
окружности, если ОР ¦ OP'=Rz. Таким
образом, значение w, данное преобразованием w=-, является
г
сопряженным инверсии г в единичном круге.
Самым полезным применением инверсии в круге является принцип отражения
Шварца, допускающий в определенных случаях распространение отображения на
простое отражение части границы. Принцип формулируется следующим образом:
если функция ? = f(z) регулярна в плоскости z на дуге k, которая
отображается в дугу К плоскости ?, то инверсные по отношению
156
к k точки отображаются в точки, инверсные по отношению к К.
Доказательство принципа, основанное на теории комплексных переменных и
называемое аналитическим продолжением, здесь не приводится.
Решение функции да (г) для г (да) дает инверсную линейную функцию
dw - Ь
z =------- .
- cw -)- а
Как да (г), так и г (да) регулярны всюду, за исключением полюсов первого
порядка при z=-djc и да = а/с. Полезно в данном случае представлять точку
в бесконечности как обычную точку плоскости, например точка в
бесконечности в плоскости г соответствует да = а/с в плоскости да. Также
функция да (г) при z= оо определяется как функция да(1 IQ при ?=0.
Поэтому поскольку функция да (1/С) = (a + b?)/(c + dQ регулярна при С =
0, считается, что функция регулярна при г= со. Точку в бесконечности
можно представить себе, если вообразить, что плоскость - это очень
большая сфера с точкой, диаметрально противоположной исходной точке, и
что радиальные линии из исходной точки - это большие окружности,
пересекающиеся в бесконечности. Так как при такой концепции углы между
радиальными линиями из полюса 2 = -djc могут считаться сохраняющими свою
величину в точке в бесконечности в плоскости да, то линейные функции
считаются регулярными в комплексной плоскости г.
Линейные функции обладают многими важными свойствами, которые
перечисляются и комментируются ниже.
1. Линейная (и только линейная) функция дает единственное конформное
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed