Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
единственное непрерывное отображение кривой G в круг С. Функция f(z)
регулярна на кривой G с f'(z)=j= 0, за исключением концов сегментов, где
f(z) непрерывна.
г. Можно найти аналитические функции z=/(?), которые дают единственное
отображение любой односвязной области по крайней мере с двумя граничными
точками в плоскости z на внутреннюю область единичного круга |?|<Е Это -
известная теорема Римана о конформных преобразованиях. Отображение
является единственным, если заданы значения /(0) и argf'(O).
д. Основная аналитическая функция z=f(Q, которая дает
152
единственное конформное отображение внутренней области простого
замкнутого контура G в плоскости 2 на внутреннюю область круга С, и
обратная ей функция t, = f(z) выражаются рядом Тэйлора:
Ряд для функции z(?) сходится к значениям ? внутри круга С, тогда для
функции ?(z) значения г в пределах большого круга с центром в начале
координат могут быть вписаны внутрь контура G. Если функция дает
регулярное единственное отображение внешней области G на внешнюю область
С, тогда функция z(Q и обратная ей функция ?(z) могут быть разложены в
ряд Лорана:
Ряд для функции z(?) сходится к значениям ? во внешней области С, тогда
для функции ?(z) значения г во внешней области малого круга с центром в
начале координат ограничиваются контуром G.
е. Если единичный круг в плоскости ? преобразуется в простой замкнутый
контур G функцией г = ? + а?2 + аз?3 +... , то площадь области,
ограниченной контуром G, превышает по величине площадь круга и
составляет:
Это выражение называется соотношением Биебербаха - Фабера для площади.
Соответствующее соотношение для площади А, ограниченной контуром G, когда
внешние области G и С преобразуются с помощью ряда Лорана [уравнение
(103)], имеет вид
В этом случае преобразуемая площадь меньше, чем площадь круга.
Теоремы "а" и "б" будут исчерпывающе проиллюстрированы при изображении
элементарных преобразований в следующем пункте. Если бы отображение
внутренних областей контуров С и G было не единственным, обратная функция
z(?) была бы многозначной, т. е. имелась бы точка разветвления ?o =
?(zo), где f'(z0) =0, соответствующая по крайней мере одной точке г0
внутри G. Но, как видно из соотношения ?= (z-z0)n, arg(?c-So) уве-
(102)
S(z) = z_3._^.
г г2
(103)
А - л (1 -f- 21 а212 -Ь 31 а312 + ¦ • •).
(104)
оо
(105)
153
личивается в 2пп раз, когда arg(zG-z0) увеличивается в 2я раз, так как
точка разветвления имеет порядок п, а это противоречит гипотезе
единственного отображения контуров G и С. Поскольку сравнение аргументов
в плоскостях 2 и g показывает, что они изменяются в одинаковом смысле
даже когда п= 1, теорема "а" доказана. Доказательство теоремы "б" кажется
почти тривиальным. Пусть f'(z)=h0, тогда точек разветвления нет ни на
контуре G, ни внутри его, так что отображение должно быть единственным.
Теорема "в" очень важна, так как способ составления гладких границ
представляет большой практический интерес; однако доказательство этой
теоремы выходит за пределы настоящего труда.
Чрезвычайно широкое применение получила теорема Римана "г". Хотя,
согласно этой теореме, требуются всего две граничные точки в плоскости 2,
в практических приложениях желательно отображать в единичный круг кривую,
содержащую бесконечное число граничных точек. Проблему конформного
отображения Ри-ман разработал в своей диссертации (1851 г.), где были
представлены все основные понятия, на которых базируются последующие
работы в этой области. Однако его доказательство теоремы об отображении
было не полным, поскольку оно зиждилось на спорных допущениях,
обоснованность которых была доказана лишь в 1900 г. Гильбертом в теореме,
известной под названием принцип Дирихле. Доказательства теоремы здесь не
дается, однако полезно рассмотреть условия единственности отображения.
Два различных единственных отображения односвязной области на внутреннюю
область единичного круга дают единственное отображение единичного круга в
самого себя; как будет показано далее, это преобразование должно быть
линейным. Однако линейное преобразование единичного круга в самого себя
имеет три степени свободы (см. следующий раздел). Итак, комплексное число
/(0) дает два действительных числа: само данное и arg/'(0), что
достаточно для обеспечения единственности преобразования.
В связи с первой частью теоремы "д" наиболее общее конформное
преобразование внутренней области контура G во внутреннюю область
единичного круга в плоскости ?' имеет три степени свободы, из которых две
могут служить для установления, что z = x + iy = 0 (т. е. х=0, у - 0),
когда g/=0, а третья для доказательства, что arg//(0)=0, т.е. (dz/dt,')
.¦=¦ о =г0>0. Тогда увеличение (или уменьшение) t, = r0^' дает (dz/d?)<=о
=1 и преобразует единичный круг в круг радиусом г0 в плоскости g. Так как
функция 2(g) регулярна внутри круга, она может быть разложена в ряд
Тэйлора, который сходится внутри этого круга и у которого значения двух
