Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рауз Х. -> "Механика жидкости" -> 53

Механика жидкости - Рауз Х.

Рауз Х. Механика жидкости — Москва, 1967. — 392 c.
Скачать (прямая ссылка): mehanikagidkosti1967.djvu
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 132 >> Следующая

условиям:
дф1 __ д1|д дх _ дфг сДП ду
дп ds дп ' дп ds дп Из рис. 47 видно также, что
дх ду ' ду дх
дп ds ' дп ds
Следовательно, на границе dtyi/ds = dy/ds, или ф1 = г/, если постоянную
интегрирования выбрать равной нулю; таким же образом ф'2 = -х и
А = - р J ф-ydy-, F = р j фуйх =
с
В - р J ф^х.
с
Р J ФгЛУ\
с
Далее рассматривается комплексный интеграл
| wxdz - j (фг -f- пф) (dx -f- idy) -
с с
= j (ф^х - ydy) + i (ydx + ф-idy).
с
HoJ ydy=0 и J ydx=-5, где S - площадь, ограниченная контуром С. Отсюда,
подставляя эти значения, а также выражения для А и F в интеграл w 1 и
составляя подобное выражение для
146
Таблица 1
Течения, соответствующие различным комплексным потенциалам
Конфигурация течения
Равномерный поток в направлении о
Источник напряжением т в точке z0
Вихрь напряжением k в точке z0
Диполь напряжением
Течение в углу я/л
Обтекание тела
Течение вокруг круглого цилиндра с циркуляцией
Обтекание овала Реи-кина
Линия вихря вблизи стенки
Источник в центре канала
"sS"st
{?==-
Uze~la
т. In (z - z0) - ik In (z- z0)
- 6e'a/z Azn Uz + m In z
U (z + - ) + ik In z \ z
Uz + m In ik In
z -J- b z - b z + b
z - b
m In sh
яг
интеграла ад = Фг + й|>2, получим соотношения:
F- i (A + pS) = p J wxdz = 2ярг (вычет ид); с
В + pS - iF = p J wzdz = 2itp? (вычет w2).
(99)
Можно показать, что уравнения (99) действительны и при наличии
циркуляции. В этом случае W\ и w2 являются комплексными потенциалами для
течений с нулевой скоростью в беско-
147
нечности. Следует отметить тождественность настоящих результатов теореме
Тэйлора для трехмерного случая, описанного в п. 33.
Подобные же простые выражения для силы и момента, действующих на
замкнутый контур С в произвольном установившемся безвихревом потоке
несжимаемой жидкости, были предложены Блазиусом. Сила, обусловленная
давлением жидкости р на элемент дуги ds контура С (рис. 48), имеет
следующие компоненты
по осям хну:
аХ = - pds sin 0; dY = pds cos 0.
Эти выражения могут быть записаны в комплексной форме:
dY + idX = pdse 10 = pdze
-2/0
Рис. 48. Давление на элемент дуги
поскольку dz = dsei9 . Момент относительно начала координат,
обусловленный давлением жидкости на элемент ds, составляет выражение
- ydX -f xdY = pds (у sin 0 + х cos 0),
равное, что легко показать, dM в уравнении
dM + idN = pzdze~~2l<>.
В этом уравнении N не имеет физического значения. Следовательно:
Г + iX = j рё~т dz-, М + iN = f
zpe 2(0 dz.
Теперь, согласно уравнению Бернулли для установившегося потока (учитывая,
что сила тяжести действует в отрицательном направлении оси у), имеем
, рУа
р = const --------у У-
При постоянном давлении, действующем по всей окружности, результирующая
сила равна нулю, а при гидростатическом давлении сила, обусловленная
законом Архимеда, определяет ди-
рУ2 т, V2
намическую часть давления, т. е. член-. Написав р = -р- и
вспомнив, что Y + iX =
dw
dz
_ JL 2
Т 7 -lb о
= Ve , найдем, что
^dz-M + iN=--Р-
dz j 2
zi-~)'dz. (100)
с с
Эти формулы изображают теорему Блазиуса, которая дает
148
компоненты силы и момента в форме вычетов аналитических функций и
z {^-J . Здесь необходимо отметить сходст-
во для установившегося потока теорем Блазиуса и Легалли.
Пример 11. Найти присоединенную массу и усилие на круглый цилиндр в
равномерном потоке при наличии циркуляции вокруг цилиндра.
Комплексный потенциал, приведенный в табл. 1 для установившегося течения
вокруг круглого цилиндра радиусом а с циркуляцией 2ixk в потоке со
скоростью U в направлении положительной оси х, имеет вид
/ а2 \
w = U I г + - ) + ik In z.
Чтобы найти присоединенную массу цилиндра, требуется определить
комплексный потенциал Wt для неустановившегося течения, когда цилиндр
движется с единичной скоростью в направлении положительной оси х. Он
может быть получен из w наложением неравномерного течения -Uz и принятием
U=-1, что дает
а2
= - - -(- ik In z. г
Как показано в п. 44, г=0 есть точка разветвления функции In г, так что
последняя не может быть разложена в ряд Лорана и не может иметь вычета.
Однако вычет wt равен - а2, и для присоединенной массы получаем
F - i (А + яра2) = - 2яа2 рг;
F = 0; 4 = na2p = pS.
Таким образом, присоединенная масса круглого цилиндра равна массе
вытесненной им жидкости.
Усилие на цилиндр, определяемое по формуле Блазиуса, выражается через
комплексный потенциал для установившегося течения, так что w может
использоваться в данной выше форме. Но
2 iUk
Другие члены в правой части уравнения не определяются, так как требуется
только вычет 2iUk. Таким образом, теорема Блазиуса дает:
у -f iX = - (2яО (2iUk) = QU2nk = р(УГ;
Х = 0; К = р?/Г.
Эта исключительно простая формула для подъемной силы применима, как будет
показано далее, и для цилиндра произвольной формы.
Б. Основы конформного отображения
43. Геометрические свойства аналитических функций.
Адекватность аналитических функций и безвихревых течений может быть
выражена геометрически, поскольку взаимно ортогональные координатные
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed