Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
Ci,...,C", то
j f(z)dz = ff(z)dz + Jf(z)dz-I (- \f(z)dz,
с, q c2 cn
где все кривые пересечены вышеописанным способом.
Теорема доказывается введением разрезов, показанных на рис. 46, и обходом
всех участков кривых по направлениям, указанным стрелками. Поскольку при
наличии разрезов область становится односвязной, может быть применена
интегральная теорема Коши. Интегралы по самим разрезам берутся дважды в
противоположных направлениях, так что они взаимно уничтожаются и
полученное выше уравнение представляет конечный результат.
Если г - внутренняя точка на простой замкнутой кривой С, лежащей
полностью в области D, в которой функция f (z) регулярна и однозначна, то
f(z)=-^\^{l)-dL (96)
2Л1 J ? - г
с
Формула (96), называемая интегральной формулой Коши, дает значения
аналитической функции внутри области, когда известны ее значения на
границе. Далее будет показано, что это непосредственно касается проблем
граничных значений в теории двухмерного безвихревого течения. Для
проверки формулы сначала вокруг точки г проводим малую окружность у.
Далее принимаем, что f (?)/(?-г) -есть регулярная функция в двухсвязной
области между кривыми С и у, и затем, используя интегральную теорему для
многосвязных областей, а также заменяя Z-г=гел на кривой у, получаем
Так как функция f(z) непрерывна, /(?) в последнем интеграле может быть
заменена на f (z) с ошибкой, уменьшающейся до нуля по мере приближения к
нулю радиуса кривой у. Следовательно, доказано, что
Г ДО d? = 2nif(z).
S-г с
Другой вывод интегральной теоремы Коши известен как теорема о вычете.
Коэффициент а-\ при (z-а)-1 в разложении аналитической функции в ряд
Лорана называется вычетом функции в точке z = а. Теорема читается так:
если С есть простая замкнутая кривая и функция f(z) однозначна и
регулярна на кривой С и внутри нее, за исключением конечного числа особых
точек внутри кривой, в которых вычеты составляют Ru Rn, то
j* / (2) dz = 2ш (Rt -j- R2 -f- ¦ • ¦ -f- Rn). (97)
с
Для доказательства нужно взять малые окружности у\, у2, ..., уп вокруг
особых точек. Тогда, согласно интегральной теореме,
j / (г) dz = j/ (г) dz + j / (г) dz -\-b J / (2) dz.
c ъ ь
Если а - особая точка, у-малая окружность вокруг нее и разложение функции
f(z) в ряд Лорана выполняется относительно а, то
j f(z)dz =----b а2 j (z-a)2 dz + axX
X j (2 - a) dz + a0 j dz + j + a_2 J + ¦
т
Произведя замену z-a = rel9, для всех положительных и отрицательных т, за
исключением т - - 1, будем иметь
j (z - а)т dz = irm+l j ei(m+1>e d 9 = 0.
Однако
отсюда
144
dz " .
= 2m,
j* / (г) dz = 2m'a_1.
Путем подстановки соответствующего результата в каждый из написанных
интегралов доказывается теорема о вычете.
42. Приложение к безвихревому потоку. Если 0 и ф обозначают потенциал
скорости и функцию то <а двухмерного безвихревого потока, то
дф дф дф дф
дх ду ' ду дх
Приведенные соотношения показывают, что ф и ф удовлетворяют уравнениям
Коши - Римана. Величина до = 0 + 1ф, обозначающая комплексный потенциал,
является вследствие этого аналитической функцией г. Это доказывает полное
соответствие между аналитическими функциями и двухмерными безвихревыми
течениями, упомянутыми в начале этой главы. Таким образом, рассматривая
аналитические функции различных типов, можно описать самые различные виды
двухмерных потоков. Производная dwjdz имеет непосредственную связь со
скоростью потока. Из п. 40 получим следующие соотношения:
dw дф . . д\|> . -U .-0.
- = -^ + I -- -и - tv = Ve , (98)
dz дх дх
где V - результирующая скорость, а - угол ее наклона, а dwjdz - так
называемая комплексная скорость.
Комплексные потенциалы для различных представляющих интерес случаев,
среди которых имеются уже рассмотренные в главе III, даны в табл. 1. Для
каждого из них легко получить полное поле скоростей. Для источника
напряжением т, например, имеем:
w = т In z - т ln(reie) = т (In г -ф- 10);
dw т т ^_;Э
dz г г
Откуда
ф - т In г; ф = тд.
Следовательно, величина скорости равна т/r, а наклон ее определяется
углом 0.
Иллюстрация возможностей метода комплексных переменных представлена
выражениями в форме вычетов для присоединенных масс двухмерного потока и
действующих при этом силы и момента.
Если предположить, что простой замкнутый контур С, вокруг которого нет
циркуляции, характеризуется скоростью смещения с компонентами иъ и vb
(рис. 47), тогда, используя приемы для трехмерного потока, описанные в п.
33, можем записать выраже-
145
ния потенциала скорости и кинетическом энергии внешней жидкости в
следующем виде:
ф = иьф1+иь ф{, 2К = Аи\ + 2Fubvb + Bv\,
где
¦pj'ф^ЬВ
с
'5ф'
ду_
дп
ds\
Рис. 47. Схема движущегося контура
1 - внутренняя часть; 2 - наружная часть
1 ds = - р 1 ф2 ds-, 1 дп .) дп '
п - нормаль, направленная наружу от контура; A, F и В - присоединенные
массы двухмерного потока между параллельными пластинами, расположенными
на единичном расстоянии друг от друга. Потенциалы удовлетворяют граничным
